Лекція 1.1. Матриці. Дії над матрицями. Визначники 2-го, 3-го, та n -го порядку. Властивості визначників. Обернена матриця. Мінор к -го порядку. Ранг матриці
Матриці
Означення. Матрицею розміру т на п називають прямокутну таблицю т 
п чисел, що складається з т рядків і п стовпців.
Позначення матриці:
Числа 
називають елементами матриці, де і – номер рядка, а j – номер стовпця, на перетині яких міститься елемент .
Матрицю, що складається лише з одного рядка, називають матрицею-рядком і позначають
,
а матрицю лише з одним стовпцем – матрицею-стовпцем і позначають
Дві матриці вважаються рівними, якщо в них однакові кількості рядків і стовпців, а також рівні між собою відповідні елементи.
Матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю, називають нульовою і позначають
Квадратною називають матрицю, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців, тобто т = п. Її позначають так:
Число п називають порядком матриці. Елементи 
квадратної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи 
- побічну діагональ.
Діагональною називають квадратну матрицю, в якої всі елементи, що розміщені не на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Її позначають так:
Одиничною називають діагональну матрицю, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці:
Дії над матрицями
Лінійними операціями над матрицями називають операції (дії) додавання, віднімання матриць (лише однакового розміру) та множення їх на число.
Означення. Сумою (різницею) двох матриць 
і 
розміру т п називають таку матрицю 
розміру т п, елементи якої визначаються рівністю 
Позначення суми (різниці):
Означення. Добутком матриці на дійсне число 
називають матрицю , елементи якої визначаються рівністю 
Це записують так: 
або 
Матрицю 
називають протилежною матриці А і позначають – А.
В л а с т и в о с т і л і н і й н и х о п е р а ц і й н а д м а т р и ц я м и
j 
n 
k 
o 
l 
p 
m 
q 
Дія множення матриці на матрицю вводиться лише для узгоджених матриць. Матрицю А називають узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Нехай матриця , 
тобто має розмір 
, а матриця , 
тобто має розмір 
.
Означення. Добутком матриці на матрицю називають матрицю , елементи якої визначаються рівністю 
Зауваження. У загальному випадку 
, тобто множення матриць – операція не комутативна. Якщо 
, то матриці А і В називають комутативними.
В л а с т и в о с т і о п е р а ц і ї м н о ж е н н я м а т р и ц ь
j 
m 
k 
n 
l 
o 
Операція піднесення до степеня визначена тільки для квадратних матриць.
Означення. Цілим додатним степенем 
квадратної матриці А називають добуток п матриць, рівних А, тобто 
.
Для кожної матриці розміру можна побудувати матрицю 
розміру 
, елементи якої визначаються рівністю 
. Матрицю 
називають транспонованою до матриці А.
В л а с т и в о с т і о п е р а ц і ї т р а н с п о н у в а н н я м а т р и ц ь
j 
l 
k 
m 
Визначники 2-го, 3-го, та n-го порядку
Означення. Вираз
називається визначником другого порядку.
Означення. Вираз
називається визначником третього порядку.
Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутника.
Розглянемо квадратну матрицю А п -го порядку.
Означення. Вираз
називається визначником п -порядку.
Означення. Мінором 
елемента визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті ви креслення і -го рядка та j -го стовпця.
Означення. Алгебраїчним доповненням 
елемента визначника називається мінор, взятий зі знаком 
, тобто = 
.
Теорема 1. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення:
(розклад визначника за елементами і -го рядка; 
);
(розклад визначника за елементами j -го рядка; 
).
Теорема 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця)дорівнює нулеві.
В л а с т и в о с т і в и з н а ч н и к і в
j У разі транспонування матриці її визначник не змінюється.
k Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулеві, то й визначник дорівнює нулеві.
l У разі переставлення двох рядків (стовпців) визначник змінює знак на протилежний.
m Спільний множник усіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника можна виносити за знак визначника.
n Визначник, який має два пропорційних рядки (стовпці), дорівнює нулеві.
o Якщо і -й рядок (стовпець) матриці С дорівнює сумі і -го рядка (стовпця) матриці А та і -го рядка (стовпця) матриці В, а всі інші рядки (стовпці) матриць А, В, С відповідно дорівнюють один одному, то
p Визначник не зміниться, якщо до елементів його одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число.
q Визначник добутку матриць дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Обернена матриця
Означення. Оберненою матрицею до квадратної матриці А називають таку матрицю 
для якої 
де 
- алгебраїчне доповнення елемента 
- визначник матриці А.
Означення. Квадратну матрицю називають невиродженою, або неособливою, якщо її визначник не дорівнює нулю (
); у протилежному разі (
) матрицю називають виродженою, або особливою.
Теорема 3. Кожна неособлива матриця А має обернену, і до того ж тільки одну.
В л а с т и в о с т і о б е р н е н и х м а т р и ц ь
1. Оберненою до матриці 
є матриця 
: 
2. Обернена матриця до добутку двох матриць дорівнює добутку обернених матриць до матриць співмножників, взятих у зворотному порядку: 
3. Обернена матриця до транспонованої матриці дорівнює матриці, транспонованій до оберненої: 
Мінор к-го порядку. Ранг матриці
Нехай задано матрицю 
. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k – число не більше чисел m і n, тобто 
.
Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k -го порядку матриці А.
Рангом матриці називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора матриці і позначається 
. Ранг нульової матриці дорівнює нулеві.
Елементарні перетворення матриці:
1. множення деякого рядка (стовпця) матриці на відмінне від нуля число;
2. додавання до деякого рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця) даної матриці, помноженого на відмінне від нуля число;
3. переставляння будь-яких двох рядків (стовпців) матриці.
Ранг матриці не зміниться після елементарних перетворень матриці.
Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно незалежних рядків або стовпців.
Ранг матриці можна знаходити такими методами:
метод обведення: даний метод ґрунтується на означенні рангу матриці як максимального порядку відмінного від нуля мінора;
метод Гаусса: за допомогою елементарних перетворень дану матрицю можна звести до вигляду
в якому всі елементи 
- не нульові, а елементи інших рядків, розміщені під ними, - нульові. 
.
