Бесконечно большие функции и их свойства

Определение. Функция y = F(x) называется бесконечно большой (б.б.) при x® a, если

.

 

Это обозначается символом , хотя предел этой функций при не существует.

Пример. Функция является б.б. функцией при , так как

 

.

 

Очевидно, что любая б.б. функция не ограничена в окрестности точки .

Если и в некоторой окрестности точки а функция (соответственно ), то еще пишут (соответственно ).

Отметим следующие свойства б.б. функций.

1) Сумма двух б.б. одного знака при является б.б. при .

2) Сумма б.б. функции при и ограниченной в окрестности точки а функции является б.б. при .

Пример. ,так как х- есть б. б. при , а б. м., следовательно, ограниченная функция при .

3) Если б. б. при , а в некоторой окрестности точки а, то функция является б. б. при . В частности, произведение двух б. б. и произведение б. б. на функцию, имеющую ненулевой предел, является б. б.

Пример. , так как х – б.б. и .

4) Если б. б. при , то б.м. при .

5) Если б.м. при и при то является б.б. при .

Пример: , так как б. б. одного знака при .

 

 

3.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших

Определение. Бесконечно малая называется б.м. высшего порядка малости по сравнению с б.м. при в случае, если найдётся б.м. при такая, что . Соответствующее обозначение .

Пример: При , так как и есть б.м. при .

При :

Определение. Бесконечно малые при называются эквивалентными, если . Обозначение ~ . Подобное определение даётся и для б.б. функции.

Пример. Б.м. эквивалентны при , это следует из первого замечательного предела.

Это отношение эквивалентности удовлетворяет трём свойствам

1) ~ ;

2) ~ ~ ;

3) Если ~ и ~ , то ~ .

Теорема. Из ~ следует, что .

Теорема. Пусть есть б. м. при , тогда:

1) ;

2) ~ ;

3) ~ ;

4) ~ ;

5) ~ ;

6) ~ , ;

7) ~ .

Эти эквивалентные б.м. позволяют более просто вычислять некоторые пределы с помощью следующей теоремы.

Теорема. Пусть ~ при , тогда

.

 

При этом оба записанных предела существуют одновременно. Если одно из выражений б. б., то другое также является б. б.

Пример. ,

 

так как ~ ~ ~ ~ .

 

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) существует ;

2) существует ;

3) .

В символической форме это определение записывается так:

.

Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если выполняются три условия:

1) ;

2) .

Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

График непрерывной функции представляет из себя непрерывную линию.

Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а, ] и принимает все значения из отрезка , тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева. (рис.9)

 

 

 

Рис. 9

Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка .

Например, функция непрерывна во всех точках интервала

(–1,1), непрерывна в точке справа и в точке слева, так как оно монотонно возрастает в и для

 

.

Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

1) , 2) , 3) при .

также непрерывны в точке .

Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

 

Рис. 10

Следствие 1. Если и функция непрерывна в точке , то .

 

Пример. .

 

Следствие 2. Любая элементарная функция непрерывна во всех внутренних точках своей области определения, а в граничных точках отрезков области определения непрерывна справа или слева.

Это следует из теорем 1, 2, 3.