Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.
Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина 
разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..
То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.
Тот факт, что число а, является пределом переменной величины, записывается следующим образом:
(
- первые буквы слова limes - предел) или х — > a
Уточним, что следует понимать под словами "величина становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом 
, тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х, значения сделаются, и будут становиться меньше, чем это 
.
Переменная величина 
стремится к пределу 
, если для любого положительного 
. начиная с некоторого момента в изменении переменной , выполняется неравенство 
.
Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что находится в -окрестности точки , т.е. в интервале 
(рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число является пределом переменной величины , если для любой (произвольно малой) -окрестности точки можно указать такой момент в изменении переменной начиная с которого все ее значения
попадают в указанную -окрестность точки a.
Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую - окрестность точки a; начиная с некоторого момента в изменении , все значения попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную 
- окрестность точки a 
; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении , все ее значения попадут в - окрестность точки а и т.д. (рис. 1).
 | |||
 | |||
рис. 1
Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.
Предел последовательности. Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х, можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х},х2,...хп,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений хх,х2,...хп ...; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).
Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой 
= N и ЕÌR.
Она обозначается символом 
, где 
, или короче, 
. Число 
, зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.
.
Примеры:
а) Последовательность 
является постоянной и состоит из равных чисел (единиц): 
;
б) 
. Для неё 
в) 
г) 
.
Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:
Определение. Число а называется пределом последовательности 
, если для любого числа 
найдётся число 
, что все числа 
, у которых 
, удовлетворяют неравенству 
.
Соответствующее обозначение
.
.
Неравенство можно также записывать в виде 
или 
. В этих записях подчеркнуто, что величина хп становится сколь угодно мало отличимой от a, когда номер члена 
неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа а найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов 
.
 |
x1 x2 
xN+1 a xN+2 xN x3
Рис. 2
Число 
в нашем определении зависит от : N = N(). Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для , например 
то найдется, вообще говоря, другой номер Nx > N, такой, что неравенство 
, выполняется при всех 
.
Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так:
В рассмотренных выше примерах предел имеют последовательности а) и г), а последовательности б) и в) пределов не имеют.
Пример. Доказать, что 
.
Зададим произвольное 
. В соответствии с определением мы должны найти такое число , что 
выполняется неравенство 
.
Решим это неравенство относительно . Получим 
. В качестве берем любое целое больше 
.
Итак, для произвольного найдено число , что выполняется неравенство
.
Рис. 3
Это и означает по определению, что (Рис. 3) 
.
Предел функции
