Ограниченные величины и функции. Переменная величина 
называется ограниченной, если существует такое число 
, что все значения попадают в интервал 
. Иными словами, для всех значений выполняется неравенство
Для функции 
ограниченность означает выполнение неравенства
(*)
при всех из области определения. Геометрически это условие означает, что все точки графика функции лежат в горизонтальной полосе между прямыми 
(рис. 7)
y M
 |
x
 |
-M
Рис. 7
Так, например, 
ограниченная функция, так как 
при всех .
Иногда говорят об ограниченности функции лишь на некотором интервале, являющемся частью области определения; это значит, что условие (*) выполняется для рассматриваемого интервала; число 
может зависеть от взятого интервала.
Пример. 
- функция, не являющаяся ограниченной. В самом деле, какое бы мы не взяли, для тех , для которых 
будет выполняться неравенство 
(рис.8).
y
x
0 
x
Рис. 8
В то же время на любом интервале 
эта функция ограничена: 
(рис.9). Число 
зависит от этого интервала.
y
M
- x 0
x
- M
Рис. 9
Возрастание и убывание функций на интервале. Функция 
называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (рис.10).
 |
y
x1 x2 
x
Рис.10
1. Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (рис.11).
y
0 x1 x2 x
Рис. 11
Запишем эти определения с помощью логических символов - кванторов: для интервала 
- условие возрастания; 
- условие убывания.
Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности этой функции, а про функцию говорят, что она монотонна на этом интервале.
Пример 10. 
(рис.12). Интервалы монотонности: на 
функция убывает; на 
функция возрастает.
y
 |
x
0
Рис.12
Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения 
. Функция называется четной, если выполняется условие
функция называется нечетной, если
Примеры:
1. 
. Область определения 
симметрична относительно начала координат 
. Функция четная.
2. 
. Область определения . Функция нечетная.
3. 
. Область определения 
(два интервала) симметрична относительно начала координат (множество всех действительных чисел с выброшенным нулем). 
. Функция нечетная.
4. Из тригонометрии известно, что 
- нечетные функции; 
- четная функция.
5. Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Действительно, наряду с точкой 
график содержит точку 
, так как 
, точка 
имеет координаты 
. Точки и оказались симметричными относительно оси ординат (рис. 13).
y
 |
x
-x o x
Рис. 13
Таким образом, наряду с произвольной точкой график четной функции содержит и точку, симметричную ей относительно оси ординат, а значит, и весь график четной функции симметричен относительно оси 
(рис.14).
y
 |  | ||
Четная функция
 |
0 x
Рис. 14
Рассуждая аналогичным образом, можно установить, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.15).
y 
0 x
 |
Рис. 15
Примеры:
1. 
; Пусть 
и 
, тогда, 
т.е. 
и 
. Значит, рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.
2. 
Пусть и , тогда 
, т.е. и . Таким образом, эта функция является функцией общего вида.
Период. Периодические функции. Число 
называется периодом функции с областью определения , если
Функция , обладающая периодом, называется периодической. Условие предполагает, конечно, что наряду с любым 
и 
Если число 
- период функции , то и любое целое, кратное , т.е. число 
где 
будет периодом . Например, 
, т.е. 
- период; 
, т.е. 
тоже период. В дальнейшем название периода функции будем применять к наименьшему положительному периоду.
Пример. Из тригонометрии известно, что периоды функций 
и равны 
, а периоды 
равны 
.
График периодической функции с периодом достаточно построить на
каком-либо интервале с длиной, равной периоду, а затем построенную часть графика сдвигать вдоль оси 
на 
и т. д. (рис. 16).
y
 |  |  |  |
0 l x
Рис.16
Пример. Периодична ли функция 
(показательная)? Допустим, что периодична. Тогда 
, при этом для любого 
; отсюда 
.
Это противоречит нашему предположению о существовании периода, значит, предположение неверно. Функция не является периодической.
1.3.1. Сложная функция (функция от функции). Пусть дана функция от аргумента , причем аргумент , в свою очередь, является функцией от независимой переменной 
:
Возьмем какое-либо значение . В силу функциональной зависимости от этому значению отвечает определенное значение : 
. Полученному значению , в свою очередь, отвечает определенное значение
( рис.17 )
y
x
tt
 |
Рис.17
На рис. 17 переменные 
откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению соответствует определенное значение 
, т.е. переменная оказалась функцией независимой переменной .
Получаем 
. Функция 
называется сложной функцией от независимой переменной или функцией от функции (функция 
от функции 
). При этом функция называется заданной или внешней функцией, а - промежуточным аргументом. Функции и называют еще составляющими для сложной функции 
; говорят также, что является суперпозицией функций и . Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной "укладывалась" в область определения заданной функции (рис.18). В противном случае среди значений функции будут и такие, от которых значение функции образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной , для которых значения промежуточной переменной попадают в область определения внешней функции .
y
Область определения функции
x
Область значений функции
t
Область определения функции
Рис.18
y
? Область значений функции
x
Область определения функции
t
Область определения функции
Рис.19
Примеры:
1. 
. Область значений промежуточной переменной 
- отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции 
[ее область определения ]. Поэтому сложную функцию 
можно образовать только для тех значений аргумента , для которых 
.
2. 
. Здесь область значений промежуточного переменного 
, а область определения внешней функции 
. Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций и ] нельзя.
Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.
Примеры:
1. у = x3; x = sint, t = 3w + l; у = F(w) = (sin(3w + l))3 - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.
2. 
.
1.3.2. Обратная функция. Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y. Согласно определению функции каждому значению 
соответствует определенное значение 
. Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждомузначению 
отвечает одно вполне определенное значение , для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между 
может рассматриваться и как функция 
, т.е. можно рассматривать как аргумент, а - как функцию. У функции областью определения является Y, а областью значений - X. Функции и называются взаимно обратными обратная функция к функции ; - обратная функция к функции . Уравнение получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения относительно переменной .
Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества (рис.21)
Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x):ведь уравнение - просто иначе переписанное уравнение у = f(x).
Рис. 20 Рис. 21
Примеры:
1. 
- обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2х является 
, этот же интервал является областью значений обратной функции 
. Областью значений функции служит интервал , он же является областью определения для (рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что - возрастающая функция на всей числовой оси.
2. 
(рис.17).
Рис.22 Рис.23
Функция 
несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является , а не и значением функции служит , а не . Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией рассматривают функцию 
, которую также называют обратной функцией к функции 
. Функция получается из переменой ролей и :
обратные функции к
Примеры:
1. 
обратные функции к 
2. 
 |
обратные функции к 
График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и 
.
Рис.24 Рис.25
1.3.3.Неявные функции. Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х и у, но нерешенным ни относительно у, ниотносительно х. Например, уравнение прямой 
Правда, его очень просто решить относительно у: 
, и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у, не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение 
. Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х, она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например, 
- уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса 
). Здесь можно явно выразить у через х: 
, но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса 
заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как
где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.
1.3.4. Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):
Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную: 
. [т.е. решаем уравнение относительно ]. Поставив это во второе уравнение, получим:
т.е. у есть функция от х (сложная функция).
Примеры:
1) 
2) 
параметрические уравнения: 1) окружности радиуса 
, 2) эллипса с полуосями а и b.
Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
2. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
3. Четность, нечетность функция
4. Период и периодичность функции
5. Операции над множествами, их свойства
6. Область определения произведения и суммы функции
Литература:
Основная [2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64
Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85
[19] 2.1-2.4 стр. 138-162
