Функция. Основные свойства функций

Переменная величина, характеризующая какой-то процесс, обычно возникает не индивидуально, а в связи с другими переменными величинами. Дело в том, что процессы, протекающие в окружающем мире, являются достаточно сложными и характеризуются многими переменными величинами, связи между которыми составляют закономерности, проявляющиеся в ходе данного процесса. Кроме того, любой процесс происходит не изолированно, а во взаимодействии с другими процессами.

Пример. Состояние газа при фиксированной температуре характеризуется давлением и объемом , занятым газом. Эти переменные величины связаны зависимостью , где - постоянная (закон Бойля-Мариотта).

Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляет понятие функциональной зависимости переменных величин или понятие функции.

Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .

Буква (или ) употребляется для обозначения функции чаще других, так как является пер-

вой буквой слова "funktion" - "функция". Иногда функции записываются и так: ; и т.д. При таких записях как бы "экономят" букву: и значение функции, и закон соответствия обозначают одной буквой. Понятие функции является основным понятием математического анализа. Что надо знать, чтобы была задана функция? Прежде всего, должна быть известна область значений аргумента . Эта область значений аргумента называется областью определения функции. Затем мы должны знать, как по любому значению из области определения находится соответствующее ему значение

. Правило , согласно которому по любому значению из области определения находится соответствующее этому значение , называется законом соответствия для данной функциональной зависимости.

Таким образом, для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.

Примеры

1) Если D - множество всех студентов КазНТУ, а. Е - множество всех его институтов, то в качестве функции можно взять соответствие каждому студенту института у, на котором он учится.

2) Пусть D - множество всех векторов в пространстве, а .

Функция сопоставляет каждому вектору D его модуль у Е.

3) Площадь круга радиуса : Область определения этой функции , т.е. ; закон соответствия задан формулой .

Область определения этой функции - отрезок ; закон соответствия задан разными формулами на разных участках: при и при .

5) . Область определения [0;4]. Область значений [0;2].

Способы задания.

а) Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.

Например, пусть температуру Т воздуха измеряют через каждый час. Тогда каждому моменту времени t= 0,l,...,24 соответствует определенное число (таблица 1):

Таблица 1

t				...
Т	Т	T	Т	...	T₂₄

Таким образом, получена функция , определённая на множестве целых чисел от 0 до 24, заданная таблицей. Этот способ не даёт полной характеристики функции, поскольку в таблицу часто невозможно внести все точки из области определения функции.

Например,

Таблица 2

х	–1
у

соответствует и функции и .

б) Графический. Графиком функции называется множество точек (х,у) плоскости таких, что и . График даёт наглядное представление о характере поведения функции.

Пусть задана функция . Возьмем на плоскости систему декартовых координат XOY. Рассмотрим множество точек на плоскости , абсциссами которых являются значения аргумента , а ординатами -соответствующие значения функции . Множество называется графиком функции .

Y Г

0 x

Рис. 6

Построение графика функции дополняет аналитический {или какой-нибудь другой) способ задания функции, так как делает наглядным ход ее изменения. Во многих технических устройствах график функции возникает и как самостоятельный способ задания функции. Приборы вычерчивают график зависимости одной величины от другой (чаще всего от времени).

в) Аналитический. Аналитическим способом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.