Розв’язання завдань з теми «Ряди».

 

Завдання 1.

Довести розбіжність ряду .

Розв’язання. Перевіримо необхідну умову збіжності ряду, тобто обчислимо

. Необхідна умова збіжності () не виконується, тобто ряд розбігається.

 

Завдання 2.

Перевірити, чи збігаються або розбігаються ряди.

а1) .

Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом , який розбігається. Для цього обчислимо

.

Оскільки , то заданий ряд також розбігається згідно граничної ознаки порівняння рядів.

Відповідь. Ряд розбігається.

Зауваження. Якщо загальний член ряду є дробово-раціональною функцією відносно , то загальний член ряду для порівняння зручно брати у вигляді , де - різниця між степенями многочленів знаменника і чисельника у .

 

а2) .

Розв’язання. Порівняємо цей ряд з рядом , який є геометричною прогресією із знаменником і збігається.

.

Оскільки границя скінченна, то заданий ряд, як і допоміжний, збігається.

Відповідь. Ряд збігається.

 

б) .

Розв’язання. Для перевірки збіжності або розбіжності цього ряду застосуємо ознаку Даламбера. За умовою маємо , тоді . Обчислимо границю відношення :

.

За ознакою Даламбера ряд розбігається.

Відповідь. Ряд розбігається.

 

в) .

Розв’язання. В цьому випадку зручно скористатися радикальною ознакою Коші:

.

Отже, заданий ряд збігається.

Відповідь. Ряд збігається.

 

г) .

Розв’язання. Оскільки є значенням функції при і ця функція неперервна і монотонно спадає в проміжку , то обчислимо невласний інтеграл

.

Невласний інтеграл збігається, отже, за інтегральною ознакою Коші збігається і заданий ряд.

Відповідь. Ряд збігається.

 

Завдання 3.

Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.

а) .

Розв’язання. Знайдемо радіус збіжності за формулою Даламбера . За умовою ,

.

Оскільки , то ряд збігається на всій числовій осі.

Відповідь. , .

 

б) .

Розв’язання. За ознакою Даламбера ряд збігається, якщо . За умовою , . Обчислимо

.

Заданий ряд збігається, якщо або . Отже, інтервал збіжності , .

Відповідь. , .

 

Завдання 4.

Розкласти у степеневий ряд функцію і визначити його область збіжності.

Розв’язання. Перетворимо задану функцію:

.

Застосуємо формулу: , .

Зробимо в цій формулі заміну , отримаємо:

, .

Тоді

, .

Відповідь. , область збіжності ряду .

 

Завдання 5.

а) Функцію , що задана на проміжку , розкласти в ряд Фур’є за синусами.

Розв’язання. Довизначимо задану функцію на проміжку непарним способом. Тоді її ряд Фур’є буде містити тільки синуси, тобто

,

де

.

За умовою , . Тоді

,

Таким чином,

.

Відповідь. .

 

б) Функцію , що задана на проміжку , розкласти в ряд Фур’є за косинусами.

Розв’язання. Довизначимо задану функцію на проміжку парним способом. Ряд Фур’є при цьому містить тільки вільний член і косинуси, тобто

,

де

, .

За умовою , . Тому

.

,

Таким чином,

.

Відповідь. .

 

 

Література

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – М.: Рольф, 2000.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2. – М.: Рольф, 2000.

3. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: Видавництво А.С.К., 2003.

4. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М. Наука, 1984.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа, 1986.

7. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.1. – Донецк, 2004.

8. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. Ч.2. – Донецк, 2004.

9. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969.

10. Ковалішина І.В. Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – Харків, ХарДАЗТ, 2000.

11. Ковалішина І.В. Диференціальне числення функцій однієї і кількох змінних. – Харків, ХарДАЗТ, 2001.

12. Горбатенко Ж.К. Функції, їх дослідження та побудова графіків. – Донецьк, ДонІЗТ, 2001.

13. Горбатенко Ж.К. Невизначений та визначений інтеграли. – Донецьк, ДонІЗТ, 2000.

14. Горбатенко Ж.К. Диференціальні рівняння. – Донецьк, ДонІЗТ, 2002.