Розв’язання завдань з теми «Невизначений та визначений інтеграли».

Завдання 1.

Знайти невизначені інтеграли. У завданнях а), б), в), г) результати перевірити диференціюванням.

а) .

Розв’язання. Нехай , тоді або . Отже, маємо:

Перевірка.

Відповідь. .

б) .

Розв’язання. Оскільки , то зробимо заміну . Тоді , і

Перевірка.

Відповідь. .

в) .

Розв’язання. До заданого інтеграла застосуємо метод інтегрування частинами, скориставшись формулою . Покладемо , а . Тоді , а . За формулою інтегрування частинами маємо:

Перевірка.

Відповідь. .

г) .

Розв’язання. Підінтегральний раціональний дріб неправильний. Виділимо з нього цілу частину діленням чисельника на знаменник:

Маємо . Розкладемо тепер дріб на елементарні:

1) знайдемо корені квадратного тричлена :

;

; , .

2) за формулою маємо

3) . Знайдемо невизначені коефіцієнти і : . З рівності дробів з однаковими знаменниками маємо .

Якщо , то , .

Отже, , а підінтегральний дріб матиме вигляд . Інтегруємо цей вираз

Перевірка.

Відповідь. .

д) .

Розв’язання. Перетворимо підкореневий вираз:

Нехай , тоді , , і заданий інтеграл матиме вигляд:

. Обчислимо кожний із отриманих інтегралів окремо.

. Скористаємось формулою .

Таким чином, , де .

Відповідь. .

е) .

Розв’язання. Перетворимо добуток тригонометричних функцій у суму за формулою , а потім проінтегруємо одержаний вираз за відомими формулами з таблиці інтегралів і з використанням властивостей інтегралів:

Відповідь. .

є) .

Розв’язання. До поданого інтеграла застосуємо підстановку . Тоді , а ; , . Одержимо

Відповідь. .

ж) .

Розв’язання. Зведемо заданий інтеграл до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки . Тоді , а . Дістанемо

Повертаючись до змінної , одержуємо

Відповідь. .

Завдання 2.

Знайти площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

Розв’язання. Побудуємо фігуру, площу якої треба обчислити. Для цього знайдемо координати вершини параболи:

; .

Таким чином, .

Вісь парабола перетинає в точці , а вісь в точках і , координати яких знайдено з рівняння .

-2

Координати точок перетину параболи і прямої знайдемо, розв’язавши систему рівнянь:

; ; ; ; .

Одержали , . Абсциси цих точок є границями інтегрування при обчисленні площі побудованої фігури . Таким чином,

Відповідь. .

Завдання 3.

Знайти об’єм тіла обертання відносно горизонтальної асимптоти для кривої , .

Розв’язання. Для кривої горизонтальною асимптотою є вісь , оскільки . Об’єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо осі , обчислюється за формулою