Приближении
Уравнение неразрывности
Рассмотрим для простоты плоскую звуковую волну в трубе постоянного сечения S (рисунок 2.1). Выделим в трубе малый элемент среды длиной d x (от x до x +d x).
Рисунок 2.1 – Движение элемента среды в трубе
В произвольный момент времени t сечение х сместится в результате колебаний на расстояние ξ (х), а сечение х + dx – на ξ(х + dx)
При равновесии масса газа в выделенном элементе:
. (2.1)
При смещении элемента:
(2.2)
Так как масса выделенного элемента остается неизменной,
.
Отсюда получаем:
. (2.3)
Уравнение (2.3) называется уравнением неразрывности.
Уравнение движения
Запишем теперь уравнение движения элемента среды, заключенного между плоскостями x и x + dx.
Сила, которая действует на этот элемент, равна:
.
Масса этого элемента равна 
, а ускорение - 
.
Согласно второму закону Ньютона
 |
или
. (2.4)
Уравнение (2.4) называется уравнением Эйлера.
Уравнение состояния
Запишем теперь уравнение состояния идеального газа, заключенного между сечениями x и x + dx
Мы уже говорили о том, что процессы сжатия и разряжения в звуковой волне являются адиабатическими. Это связано с тем, что вследствие низкой теплопроводности воздуха и быстроты изменения давления и плотности при звуковых колебаниях тепловая энергия не успевает уйти из сжатого элемента газа за время сжатия (
).
Уравнение адиабатического процесса имеет вид:
, (2.5)
где 
- коэффициент Пуассона. Для воздуха 
.
Если продифференцировать уравнение (2.5), получим:
.
Элемент газа в трубе между плоскостями x и x + dx имеет объем Sdx, а изменение его объема будет равно 
.
Постоянное давление – Р 0, а звуковое – p.
Таким образом, уравнение адиабатического сжатия (разрежения) воздуха в звуковой волне имеет вид:
или
. (2.6)
С учетом уравнения неразрывности (2.3) получаем:
(2.7)
Волновое уравнение для звуковых волн в воздухе.
Скорость звука
Комбинируя уравнение неразрывности (2.3), уравнение Эйлера (2.4) и уравнение состояния (2.6), получаем уравнение для смещения частиц в звуковой волне 
:
или
Если обозначить 
, то
(2.8)
Таким образом, для ξ мы получили волновое уравнение (см. раздел 1.2.4), которое описывает волну, распространяющуюся в воздухе со скоростью, равной
.
Величина с называется скоростью звука.
При нормальных условиях плотность воздуха ρ 0 = 1,29 кг/м2, атмосферное давление Р 0 = 1,013·105 Па, и скорость звука в воздухе с = 330 м/с. При комнатной температуре (t = 180C) с = 340 м/с.
Аналогичные (2.8) волновые уравнения можно записать для звукового давления, акустических добавок к плотности и температуре.
Волны смещения, звукового давления, плотности и температуры распространяются с одинаковой скоростью.
Эти волны связаны между собой, так как
,
,
.
Таким образом, если известно уравнение одной из этих волн, например: 
, то остальные величины легко находятся.
Величина ρ0 с называется волновым сопротивлением среды. При нормальных условиях 
.
