Необходимые сведения из математики

Комплексные числа

Комплексными числами называются числа вида:

 

,

 

где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица (i ² = -1).

Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа:

 

 

Число называется комплексно сопряженным числу z.

Комплексное число может быть представлено точкой на плоскости xy (рис. 1.1).

 

Рисунок 1.1 – Геометрическое представление комплексного числа

 

Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число на плоскости xy, называется модулем комплексного числа:

 

,

 

а угол φ между радиус-вектором и осью Ox – аргументом комплексного числа:

 

.

 

Видно, что:

 

 

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

 

.

 

В математике доказывается соотношение:

 

, (1.1)

 

которое называется теоремой Эйлера.

Заменив φ на –φ, получим:

 

. (1.2)

 

Из (1.1) и (1.2) следует, что:

 

,

.

 

Используя теорему Эйлера, комплексное число можно записать в показательной форме:

 

 

Основные операции с комплексными числами:

 

 

Ряд Фурье. Интеграл Фурье

 

Пусть f (t) – действительная периодическая функция с периодом T, для которой существует интеграл . Тогда эту функцию можно представить в виде:

(1.3)

 

Представление (1.3) называется разложением в ряд Фурье.

Здесь:

- - циклическая частота основного тона (первой гармоники);

- - среднее значение f (t);

- члены ряда называются гармониками (n = 1 – первая гармоника или основной тон, n = 2, 3, … - обертоны).

Коэффициенты ряда определяются выражениями:

 

 

n -я гармоника имеет частоту амплитуду фазу

Если функция f (t) непериодическая, то ее можно представить в виде интеграла Фурье:

(1.4)

 

1.2 Колебания и волны: основные понятия

 

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.

В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. Система, в которой происходят колебания, называется колебательной системой.

Колебания называются свободными (собственными), если они происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Колебания называются вынужденными, если на систему оказывается периодическое внешнее воздействие.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих состояние колебательной системы и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Время, за которое в системе совершается одно полное колебание, называют периодом колебаний (T, с). Величина, равная числу полных колебаний за единицу времени, называется частотой колебаний (ν или f, Гц):

 

.

 

Циклической или круговой частотой называется величина ω, равная:

 

 

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины s от времени t удовлетворяет условию:

 

.