Гармонические колебания и их характеристики

Периодические колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется с течением времени по закону косинуса или синуса:

 

(1.5)

или

 

.

 

Здесь - циклическая частота колебаний, A – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия (амплитуда колебаний), φ(t) = ω t+ φ₀ – фаза колебаний, φ₀ – начальная фаза.

График гармонических колебаний представлен на рисунке 1.2.

 

Рисунок 1.2 – График гармонических колебаний

 

Используя теорему Эйлера (1.1), можно представить уравнение гармонических колебаний в экспоненциальной форме:

 

. (1.6)

 

Физический смысл имеет только действительная часть выражения (1.6):

.

 

На представлении колеблющейся величины в форме (1.6) основан способ изображения гармонического колебания в виде векторной диаграммы (рис.1.3).

Рисунок 1.3 – Векторная диаграмма гармонического колебания

 

Векторная диаграмма представляет собой вектор, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол φ между вектором и осью Оx – фазе колебаний. Так как фаза меняется с течением времени по закону φ(t) = ω t+ φ₀, то вектор вращается вокруг точки O с угловой скоростью ω, равной круговой частоте гармонического колебания. При этом проекция вектора на ось Оx изменяется в соответствии с уравнением гармонических колебаний (1.5).

При гармонических колебаниях полная энергия системы (механическая энергия при механических колебаниях и энергия электромагнитного поля в электрическом колебательном контуре) с течением времени не изменяется. Можно показать, что полная энергия механической колебательной системы при гармонических колебаниях равна:

 

.

 

Гармонически колеблющаяся величина s (t) подчиняется дифференциальному уравнению:

 

, (1.7)

 

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Если какой-либо процесс описывается уравнением вида (1.7), то этот процесс представляет собой гармоническое колебаний с частотой ω.

Собственные колебания некоторых физических систем (например, пружинного маятника или электрического колебательного контура) при определенных условиях являются близкими к гармоническим. При этом частота собственных колебаний определяется физическими параметрами системы (например, массой груза и упругостью пружины для пружинного маятника). Значения амплитуды и начальной фазы зависят от начальных условий в системе.

Кроме того, гармоническими будут вынужденные колебания, если они происходят в результате гармонического внешнего воздействия на колебательную систему. Частота вынужденных гармонических колебаний равна частоте внешнего воздействия, а амплитуда и фаза зависят как от внешнего воздействия, так и от физических параметров колебательной системы (см. раздел 1.2.3 «Вынужденные колебания»).

Следует также отметить, что любое колебание (даже непериодическое) можно представить как сумму гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами (разложить в ряд Фурье (1.3) или интеграл Фурье (1.4)). Зависимость амплитуд гармоник ряда или интеграла Фурье от частоты называется спектром колебательного процесса.

 

Затухающие колебания

Затуханием называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. При механических колебаниях причиной затухания является действие сил трения и излучение энергии колебаний в окружающую среду в виде упругих волн. Свободные колебания всех реальных колебательных систем являются затухающими.

Рассмотрим затухающие колебания линейной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в линейной системе:

 

(1.8)

 

где ω – циклическая частота незатухающих собственных колебаний системы, δ (с^-1) – коэффициент затухания.

Решение уравнения (1.8) имеет вид:

 

 

Здесь - амплитуда затухающих колебаний, - циклическая частота затухающих колебаний.

В экспоненциальной форме уравнение затухающих колебаний записывается как:

 

.

 

График затухающих колебаний приведен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – График затухающих колебаний

 

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации:

 

Величина, равная

 

называется логарифмическим декрементом затухания.

Еще одна характеристика системы, совершающей затухающие колебания, - ее добротность, равная:

 

 

где E (t) – полная энергия системы в момент времени t. Чем выше добротность системы, тем медленнее происходит в ней процесс затухания колебаний. Можно показать, что:

 

 

При увеличении коэффициента затухания циклическая частота затухающих колебаний уменьшается, и при δ≥ω процесс затухания становится апериодическим: выведенная из положения равновесия колебательная система постепенно (без колебаний) возвращается в него (рис. 1.5).

Рисунок 1.5 – Апериодическое затухание