Методы простой экстраполяции

Метод среднего уровня ряда – прогнозируемый уровень изучаемой величины принимается равным среднему значению уровней ряда этой величины в прошлом. Этот метод используется, если средний уровень не имеет тенденции к изменению, или это изменение незначительно (нет явно выраженного тренда, рисунок 32А)

(59)

Где y_i – значение i ого уровня

n – база прогноза

В некотором смысле отрезок динамического ряда, охваченный наблюдением, можно уподобить выборке, а значит полученный прогноз будет выборочным, для которого можно указать доверительный интервал

(60)

где (61)

– среднеквадратичное отклонение временного ряда

t_α –критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n 1).

Пример. В таблице 63 приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом среднего уровня ряда Таблица 63. Результаты расчетов

t	y_i		прогноз


		(80+98)/2
		(80+98+94)/3	90,7
		(80+98+94+103)/4	93,8
		(80+98+94+103+84)/5	91,8
		(80+98+94+103+84+115)/6	95,7
		(80+98+94+103+84+115+98)/7	96,0
		(80+98+94+103+84+115+98+113)/8	98,1
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114)/9	99,9
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87)/10	98,6
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107)/11	99,4
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107+85)/12	98,2

Рисунок 34. Методы простой экстраполяции

Доверительный интервал для прогноза в момент t =13 приведен в таблице 64

Таблица 64. Результаты статобработки

y_прог	n	t_0.05	s	Нижний предел 95ДИ%	Верхний предел 95ДИ%
98,2		2,2	12,4	69,7	126,7

Метод скользящих средних – метод прогнозирования на краткосрочный период, основан на процедуре сглаживания уровней изучаемой величины (фильтрации). Преимущественно используются линейные фильтры сглаживания с интервалом m т.е.

(62)

Доверительный интервал

(63)

Где

– среднеквадратичное отклонение временного ряда (64)

t_α –критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n 1).

Пример. В таблице 65 приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом скользящих средних с интервалом сглаживания m = 3. Таблица 65. Результаты расчетов

t	y_i		прогноз



		(80+98+94)/3	90,7
		(98+94+103)/3	98,3
		(94+103+84)/3	93,7
		(103+84+115)/3	100,7
		(84+115+98)/3
		(115+98+113)/3	108,7
		(98+113+114)/3	108,3
		(113+114+87)/3	104,7
		(114+87+107)/3	102,7
	прогноз	(87+107+85)/3

Исходный и сглаженный ряд представлены на рисунке 35

Рисунок 35. Метод скользящих средних

Таблица 66. Результаты статобработки

y_прог	n	m	t_0.05	s	Нижний предел 95ДИ%	Верхний предел 95ДИ%
			2,2	12,4	61,4	124,6

Метод экспоненциального сглаживания – в процессе выравнивания каждого уровня используются значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. По мере удаления от какогото уровня вес этого наблюдения уменьшается. Сглаженное значение уровня на момент времени t определяется по формуле

(65)

где S_t – текущее сглаженное значение;

y_t – текущее значение исходного ряда;

S_t_{– 1} – предыдущее сглаженное значение;

α сглаживающая параметр

S₀ берется равным среднему арифметическому нескольких первых значений ряда

Для расчета α предложена следующая формула

(66)

По поводу выбора α нет единого мнения, эта задача оптимизации модели пока еще не решена. В некоторых литературных источниках рекомендуется выбирать 0,1 ≤ α ≤ 0,3.

Прогноз рассчитывается следующим образом

(67)

Доверительный интервал

(68)

Пример. Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =11 методом экспоненциального сглаживания. Зададим α=0,3, S₀ – среднее значение по трем первым членам ряда. Таблица 67. Результаты расчетов

t	y_i		S_t
		(80+98+94)/3	90,7
		0,380+(10,3)90,7	87,5
		0,398+(10,3)87,5	90,6
		0,394+(10,3)90,6	91,6
		0,3103+(10,3)91,6	95,0
		0,384+(10,3)95	91,7
		0,3115+(10,3)91,7	98,7
		0,398+(10,3)98,7	98,5
		0,3113+(10,3)98,5	102,8
		0,3114+(10,3)102,8	106,2
		0,387+(10,3)106,2	100,4
		0,3107+(10,3)100,4	102,4
		0,385+(10,3)102,4	97,2
	прогноз	97,2+0,3*(8597,2)	93,5

Рисунок 36. Метод экспоненциального сглаживания

Таблица 68. Результаты статобработки

y_прог	n	α	t_0.05	s	Нижний предел 95ДИ%	Верхний предел 95ДИ%
93,5		0,3	2,2	12,4	63,8	123,2

Рассмотренные методы прогнозирования являются простейшими, и в тоже время самыми приближенными – это видно из широких доверительных интервалов в приведенных примерах. Большая погрешность прогноза наблюдается в случае сильных колебаний уровней. Также неправомерно использовать эти методы при наличии явной тенденции к росту (или падению) исходного временного ряда. Но все же для краткосрочных прогнозов их применение бывает оправданным.