Однофакторный дисперсионный анализ

Поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: определить влияние многоуровневого фактора на случайную величину. Рассмотрим более простой случай - влияние рациона питания на привес животных. Было проведено исследование на 4 группах животных: первая группа потребляла обычный рацион, вторая – питалась только макаронами, третья – мясом, четвертая – овощами. Изучаемым фактором является рацион питания, который имеет четыре уровня, случайная величина – это привес животных. Нужно определить есть ли разница хотя бы между двумя средними в этих группах.

Прежде чем приступить к решению данной задачи, вспомним, что дисперсия является характеристикой разброса случайной величины относительно среднего.

В идеале, внутри каждой группы вес животных должен бы быть одинаковым, так как они питаются одинаковым рационом (например, все едят овощи). В реальности внутри групп будет наблюдаться разброс в привесе, в связи с тем, что кроме рациона на вес животных влияют другие факторы: особенности обмена веществ, поведенческих реакций, стрессоустойчивость и др. Эти факторы, которые мы будем называть неучтенными факторами, приводят к появлению внутригрупповой дисперсии D_{внутргр}.

Средние по группам также имеют разброс (относительно общей средней), который объясняется влиянием изучаемого фактора - разных рационов. Это приводит к появлению межгрупповой дисперсии D_межгр.

Рассмотрим случай, приведенный на рисунке 22. Видно, что внутри групп разброс показателя веса больше, чем разброс средних значений по группам. Можно предположить, что вес животных в этих группах не сильно зависит от рациона питания, а на него больше влияют неучтенные в данном исследовании факторы.

Рисунок 22. Внутригрупповая дисперсия

Другой случай представлен на рисунке 23.

В этом случае средние значения имеют больший разброс, чем данные внутри каждой группы. Показатели веса в различных группах расположились обособленно - можно сделать предположение, что рацион питания влияет на вес животных больше, чем неучтенные факторы.

Рисунок 23. Межгрупповая дисперсия

Таким образом, чтобы оценить влияние многоуровневого фактора на какую-то величину, необходимо сопоставить межгрупповую и внутригрупповую дисперсии. Межгрупповая дисперсия вносится изучаемым фактором, внутригрупповая дисперсия вносится какими-то другими (неучтенными) факторами.

Если то фактор не влияет

Если то фактор влияет

Если то неопределенность

Мы бы воспользовались этим правилом, если бы нам была доступна генеральная совокупность, но выборочные данные, в том числе выборочные дисперсии, ошибочны и в этом случае необходимо прибегнуть к теории проверки статистических гипотез.

Выдвигаем Н(0) – фактор не влияет на изучаемый признак

Задаемся уровнем значимости α

Вычисляем выборочную в нутригрупповую дисперсию, как среднее значение дисперсий по группам

 

(43)

 

Где - дисперсия показателя в каждой из k групп

И выборочную межгрупповую дисперсию как отклонение средних в каждой группе от общей средней

 

(44)

 

n_i –количество объектов в i –той группе

- общая средняя

 

Вычисляем критерий Фишера

(45)

Сравниваем с (Приложение 7) для заданного α и числа степеней свободы

 

(46)

 

где k – число групп, n -общее количество объектов обследования

 

Если вычисленное значение критерия Фишера меньше критического, то Н(0) принимается и делается вывод, что фактор не влияет на исследуемый показатель.

В противном случае принимается Н(1).

 

Вернемся к задаче влияния тяжести состояния пациентов при поступлении на срок госпитализации (по данным из таблицы 48). Выдвинем гипотезы: Н(0): срок лечения в стационаре не зависит от тяжести состояния пациента при госпитализации. Н(1): срок лечения в стационаре зависит от тяжести состояния пациента при госпитализации Таблица 48. Данные по сроку лечения   Тяжесть состояния по Hunt-Hess II степень III степень IV степень k =3 №пациента Срок лечения, дни                                                     ni       n=15   62,6 99,2 66,9 59,5 111,8 185,2 Σ=356,5         Таблица 49. Результаты статобработки     D Fвыч f α Fкрит Межгрупповая дисперсия 4600,5 38,7   0,05 3,88 Внутригрупповая дисперсия 118,8         Т.к. Fвыч> Fкрит принимаем Н(1).