Лекции.Орг


Поиск:




Системы линейеых уравнений




Вычисление определителей

Определение 1.2.. Каждой квадратной матрице A = можно сопоставить число det A либо | A | или D, которое называют определителем матрицы и находят

следующим образом:

1. Если , т.е. ;

2. Если , т.е.

;

 

4. В общем случае, если A = , то det A находится с помощью разложения Лапласа: , где , а - алгебраическое дополнение элемента , матрицы A = , т.е.

,

и - минор элемента , т.е. определитель квадратной матрицы А = , полученный из неё путём вычеркивания i -ой строки и j -ого столбца, на пересечении которых стоит элемент

Пример.1.2 Дана квадратная матрица

Найти её определитель det A.

Решение. Найдём det A, применив разложение Лапласа по элементам первой строки матрицы A:

Пример 1.3

Вычислим определитель

Для этого в начале преобразуем его с помощью элементарных преобразований:

= =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= ,чтобы получить побольше нулей. Раскроем затем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа. Получим

= а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 = а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32

(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42=1∙(-1)2+1 +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

= - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + +2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -(3∙7+2∙10)=-41.

 

Операции над матрицами

Вычислить А 2 - 3 АВ, где

А = В =

Решение. Находим матрицу

А 2 = АА = .

Для получения элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца матрицы В (т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы В; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца матрицы В; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы В)и их произведения сложим.Для получения элемента, стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы В и их произведения сложим и т.д. В итоге получим матрицу размером 3×3:

 

А2 =

 

= =

Аналогично находим матрицу :

АВ = =

 

=

 

= =

Вычисляем затем матрицу

3∙ АВ = 3∙ = (Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.)= .

Таким образом, получим, что матрица

А 2 - 3 АВ = - = (Чтобы сложить две матрицы, надо сложить их соответствующие элементы.)= .

 

Системы линейеых уравнений

Пример Решить методом Гаусса СЛАУ вида

Здесь число неизвестных n= 4.

Решение. Приведём расширенную матрицу этой СЛАУ путём элементарных преобразований нал её строками к ступенчатому виду

~ ~

~ ~

 

На основании этого СЛАУ запишется в эквивалентном ступенчатом виде:

Так как для матрицы A данной системы её ранг < 4, то эта система имеет бесконечное множество решений, из которых 2 являются базисными. Положим за базисное решение, так как в матрице A системы имеется соответствующий им базисный минор ¹.0. Тогда полученную систему запишем в эквивалентном виде:

.

Из этой системы обратным ходом находим базисные неизвестные

.

Здесь - свободные неизвестные или параметры. Если положить , то получим соответствующее частное решение системы

; ; ; .

Пример

. Решить методом Гаусса СЛАУ

Решение. Приведём расширенную матрицу этой СЛАУ с помощью элементарных преобразований над её строками к ступенчатому виду:

.

На основании этого СЛАУ запишется в эквивалентном треугольном виде:

 

Отсюда методом обратного хода получаем её единственное решение:

.

Пример 1.4. Решить однородную систему уравнений:

Решение. Здесь , и r (A) = 2, т.к. в матрице А имеется минор =1¹0; а п =3. Следовательно r (A) < п, т.е. эта система имеет бесконечное множество решений. Так как существует базисный минор =1¹0 матрицы А, то можно записать данную систему следующим образом:

.

Найдём её решение по методу Крамера (6.3). Имеем

 

= 2 x 3; = 3 x 3.

Отсюда, по формулам (6.3) получим ; . Здесь x 1 ,x2 базисные неизвестные, а x3 параметр. Если положить, что параметр х 3=0, то х 1=0, х 2=0; т.е. получим частное решение системы, а если х 3=1, то х 1=2, х 2=3, то находим второе частное решение.

Пример

Найти решение и ФСР однородной СЛАУ.

Решение. Решим эту систему методом Гаусса. Так как для ОСЛАУ расширенная матрица совпадает с её матрицей A,то рассмотрим матрицу

А =

и введём элементарные преобразование над строками этой матрицы в виде схематичных равенств С 2:= 2 С 1+ С 2; С 3:= 2 С 1+ С 3, где -обозначения строк матрицы A. В результате получим, что

A ~ (С 3:= С 2+ С 3) ~

Отсюда видно, что r (A) =3, т.е. ФСР состоит из п - r = 6 -3=3 решений. Чтобы найти ее, выберем х 1, х 2, х 3 за базисные переменные. Тогда система запишется в эквивалентной форме вида

Обратный ход метода Гаусса дает значение базисных неизвестных х 1, х 2, х 3 через значения свободных переменных х 4, х 5, х 6:

или

Присваивая для х 4 значения (1,0,0), для х 5 значения (0,1,0), для х 6 значения (0,0, 1) находим последовательно из полученной системы соответствующие частные значения для базисных переменных х 1, х 2, х 3 в виде таблицы:

 

х 1 х 2 х 3
    -2
-4 -3  
     

 

Таким образом, ФСР для данной СЛАУ имеет вид:

=(14, 11,-2,1,0,0)

=(-4, -3, 0,0,1,0)

=(1, 0,1,0,0,1)

 

Решить систему уравнений

 

(1)

1) методом Гаусса;

2) по правилу Крамера;

3) матричным способом.

Решение.

1).Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу, соответствующую данной системе (1):

Приведем эту матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразованийнад её строками, а именно:

- перестановкой строк;

- умножением элементов строки матрицы на число;

- сложением соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов двух строк и помещение сумм этих элементов на место соответствующих элементов одной из складываемых строк.

Чтобы привести матрицу к треугольному виду надо получить нули на месте элементов, стоящих под главной диагональю. Сперва получим нули в первом столбце, находящиеся, во второй, третьей и четвертой строках, т.е. надо изменить вторую, третью, четвертую строки. Так как первая строка не изменяется, изменения в других строках будем производить относительно нее: выберем на главной диагонали неизменяемой строки главный элемент, в нашем примере это 2. Если в столбце, в котором мы хотим получить нули, имеется 1, то для облегчения счета строку с1 на первом месте лучше поставить на место первой строки и сделать ее, тем самым, неизменяемой.

Внашем примере, вторая строка содержит на первом месте 1. Поменяем ее с первой строкой. Эту операцию обозначим следующим образом:

С 2 С 1,

(здесь С 2 –обозначение второй строки, С 1 – первая строка). При этом получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь главным элементом будет 1.Обведем ее в квадрат. Чтобы получить на месте 2 во второй строке 0, надо каждый элмент первой строки умножить на (-2) и сложить с соответствующим элементом второй строки и их сумму записать на место соответствующего элемента второй строки. Эту операцию обозначим следующим образом:

С 2:= -2∙ С 1 + С 2,

(здесь:= - это оператор присваивания, т.е. значение выражения с правой стороны записывается на место величины, стоящей слева). При этом получим эквивалентную матрицу

 

Чтобы получить вместо числа 3 нуль в третьей строке, проделаем операцию С 3:= -3∙ С 1 + С 3, а чтобы получить вместо (-1) нуль в четвёртой, проделаем операцию С 4:= С 1 + С 4.В результате получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь нужно получить нули во втором столбце в строках три и четыре, т.е. изменяемыми будут третья и четвертая строки. Выберем главный элемент в неизменяемой второй строке во втором столбце и который стоит на главной диагонали (в примере это 3), но среди изменяемых строк имеется четвёртая строка, в которой во втором столбце стоит 1.Поэтому поменяем ее со второй строкой, в которой мы выбрали главный элемент (т.е. надо поменять местами вторую и четвертую строчки):

С 4 С 2.При этом получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь главным элементом будет элемент 1. Заключим его в квадат.Что-бы получить вместо 5 нуль в третьей строке, проделаем операцию С 3:= -5∙ С 2 + С 3, а чтобы получить вместо 3 нуль в четвёртой строке, проделаем операцию С 4:= -3 С 2 + С 4. В итоге получим эквивалентную матрицу

Осталось получить нуль в третьем столбце четвертой строки. Главный элемент выбираем в третьем столбце и третьей строке (это -22).Так как изменяемой будет только четвертая строка и среди изменяемых строк в третьем столбце нет единицы, то (-22) и будет главным элементом. Чтобы получить вместо -15 нуль в четвёртой строке, проделаем следующую операцию

С 4:=- 15∙ С 3 +22∙ С 4.При этом получим эквивалентную матрицу

Разделим последнюю строчку полученной матрицы на 41,т.е. проведём операцию С 4:= С 4: 41. Получим эквивалентную матрицу

 

Построим по полученной матрице эквивалентную (1) систему уравнений.

Из последнего уравнения находим x 4 = - 1. Применяя метод обратного хода, подставим это значение в предпоследнее уравнение. Получим:

- 22 x 3 - 35∙ (-1) = - 9. Отсюда получим,что

.

Подставляя найденные значения х4 и х3 во второе уравнение, получим

x 2 +3∙2 + 5∙(-1) = 2, откуда x 2 = 2 – 6 +5 =1. Подставляя затем найденные значения для x 4 , х3 и x 2 в первое уравнение получим

x 1 - 1 + 2∙2 +3∙(-1) = 1 или x 1 = 1.

Ответ: .

2).Решим эту систему по правилу Крамера,применяя формулы(6.3). .

Составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

и запишем столбец свободных членов системы:

В = .

Вычислим главный определитель системы, отвечающий матрице А. Для этого в начале преобразуем его с помощью элементарных преобразований:

= =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= ,чтобы получить побольше нулей. Раскроем затем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа. Получим

= а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 = а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32

(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42=1∙(-1)2+1 +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

= - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + +2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -(3∙7+2∙10)=-41.

Чтобы получить определитель ∆ х, заменим первый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

х = =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

х = а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 == а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32

(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42=1∙(-1)2+1 +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

х = - = - (1∙(3∙4 -1∙5)+0 +

+2∙ (4∙5- 3∙1) = - (1∙7+2∙17)= - 41.

Чтобы получить определитель ∆ у, заменим второй столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

у = =(С 3:= -4∙ С 2 + С 3, С 4:= - С 2 + С 4 )=

= =

Вынесем минус за знак определителя из третей и четвертой строк, получим

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:∆ у = а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 == а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32

(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42==0 + 1∙(-1)2+2 +0+0 = .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

=2∙9∙1 + 2∙(-2)∙13 + (-1)∙1∙1 –(-1)∙9∙2 - 1∙(-2)∙1 - 2∙1∙13 = 18-52-1 +18 +2 -26= =-41 =∆ у..

Чтобы получить определитель ∆ z, заменим третий столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

z = =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

z = а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 = а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32

(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42=1∙(-1)2+1 +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

z =- (3∙4∙4 +1∙1∙(-5) + 1∙(-1)∙2 - 2∙4∙(-5) - 1∙1∙3 - 1∙(-1)∙4) =

=-(48 -5 -2 +40 -3+4)=-82

Чтобы получить определитель ∆ t, заменим четвертый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.Получим

t = =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

t = а 12А 12 + а 22А 22 + а 32А 32 + а 42А 42 =

= а 12∙(-1)1+2 М 12 + а 22∙(-1)2+2 М 22 + а 32∙(-1)3+2 М 32 + а 42∙(-1)4+2 М 42=

=1∙(-1)2+1 +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

t =- (3∙3∙1 +0∙4∙(-5) + 1∙(-1)∙5 - 1∙3∙(-5) - 0∙1∙(-1) - 5∙3∙4) =

=-(9 +0 -5 +15 +0-60) = 41.

Тогда

x = = =1; y = = =1; z = = = 2; t = = = - 1.

Ответ: .

Обратная матрица

Запишем систему (1)

.

через произведение матриц по формуле (2.3). Для этого составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

столбец свободных членов В = и столбец неизвестных Х = .

Тогда система уравнений запишется в матричном виде

 

= ,

т.е. А∙Х =В. Откуда находим,что Х = А- 1 ∙В.

Найдем обратную матрицу А -1. Для этого

1) вычислим главный определитель матрицы

= =(С 2:= С 1 + С 2, С 3:= -2∙ С 1 + С 3, С 4:= -2∙ С 1 + С 4)=

= = 1∙(-1)2+1 +0+0+0 =

= - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 +

2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = - (3∙7+2∙10)= - 41.

2) построим матрицу ( ij) из алгебраических дополнений ij элементов матрицы А.

Найдем эти алгебраические дополнения (определители вычисляем по правилу треугольника):

11 = (-1)1+1 = 2 - 4 +6+6-1-8 = 1,

 

12 = (-1)1+2 = -(-2 + 2 +9 - 3+1- 12) = 5,

 

13 = (-1)4 = 4 - 1 + 18+6 +2+6 = 35,

 

14 = (-1)5 = -(2 - 1 + 12+ 4+2 + 3) = -22,

 

21 = (-1)3 = -(-2 + 4 - 2- 2+1+ 8) = -7,

 

22 = (-1)4 = -4 - 2 - 3+ 1+2+ 12 = 6,

 

23 = (-1)5 =-(8 - 6 + 1- 2 + 4- 6) = 1,

24 = (-1)6 = 4 + 1 – 12 – 4 + 4- 3 = -10,

 

31 = (-1)4 = 4 - 12 +1+4-4-3 = -10,

 

32 = (-1)5 = -(8 - 1 +6 - 2- 6+ 4) = -9,

 

33 = (-1)3+3 = -4 - 3 - 2+ 1- 12- 2 = -22,

 

34 = (-1)7 = -(-2 - 2 - 4+ 2-8- 1) = 15,

 

41 = (-1)5 = -(-2 - 1 – 12 +4 + 3 + 2) = 6,

 

42 = (-1)6 = -4 – 18 + 1+6 + 6- 2 = -11,

 

43 = (-1)7 = -(2 - 2 + 9 - 3-12 +1) = 5,

 

44 = (-1)8 = 2- 4 +6 - 6- 8+ 1 = -9.

Полчили матрицу

( ij) = .

 

3) Находим присоединённую матрицу ( ji) = ( ij) T :

( ji) = .

4) Получаем по формуле (2.2) обратную матрицу

А -1 = = =

 

Тогда

 

Х = =

 

= = = = = .

Ответ: .

Рассмотрим второй способ получения обратной матрицы А -1.

Используется формула вида (9.9):

,

где Е – единичная матрица; А – заданная матрица; - обратная матрица.

С 1 С 2

С 2:= -2∙ С 1 + С 2,

 

С 3:= -3∙ С 1 + С 3, С 4:= С 1 + С 4,

 

С 4 С 2

 

С 1:= С 2 + С 1, С 3:= -5∙ С 2 + С 3, С 4:= -3 С 2 + С 4,

С 1:= 5 С 3 + 22 С 1, С 2:= 3∙ С 3 + 22 С 2, С 4:=- 15∙ С 3 +22∙ С 4,

 

 

С 1:=- С 4 +41 С 1, С 2:= -5∙ С 4 + 41 С 2, С 3:=35∙ С 4 +41∙ С 3

 

 

Разделив первую и вторую строки матрицы на 902, третью на -902.а четвертую на 41, получим

 

,

 

А -1 = .

 

Задание №3

Найти фундаментальную систему решений.

.

Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

С 2 С 1

 

С 2:= -2∙ С 1 + С 2, С 3:= С 1 + С 3, С 4:= - С 1 + С 4

 

С 3:= -5 С 2 + С 3, С 4:= - С 1 + С 4

 

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

 

С 4:= - С 3 + С 4

 

Составим по полученной матрице систему уравнений

 

или либо .

Таким образом, имеем .

Обозначим t = С. Тогда система имеет множество решений:

. При С = 1 получим ФСР, т.е.

или .

Задание №1

1.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить А 2 + ВА+2В.

 

2.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить А 2 + АВ-3В.

3.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 + АВ- 3 А.

4.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 - 3 В + ВА.

5.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 +2А + ВА.

 

6.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить 2 А 2 -3В + ВА.

 

7.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 - 2 В + 3ВА.

 

8.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 -3В + 2 АВ.

 

9.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить 2 - 3 В + ВА.

 

10.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В 2 -4А + ВА.

 

Задание №2

Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным способом.

 

1. 6.

 

2. 7.

 

3. 8.

 

4. 9.

 

5. 10.

 

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

 

1. 2.

 

3. 4.

 

5. 6.

 

7. 8.

 

9. 10.

 

Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

 

Рекомендуемая литература

1.Кострикин А.И.Введение в алгебру/А.И..Кострикин.-М.:Наука,1977.

2.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы/Н.В.Ефимов.-Наука,1964.

3.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М.Гельфанд.- Наука,1971.

3.Карасев А.И.,Аксютина З.М.,Савельева Т.И.Курс высшей математики для экономических вузов.Ч.I,II /А.И. Карасев., З.М.Аксютина, Т.И.Савельева – М.:Высш.школа,1982.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Я.С Бугров, С.М.Никольский.- М.:Наука,1984.

5.Шипачев В.С. Высшая математика./В.С. Шипачев.- М.: Высшая школа,1985.

6.Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевников Г.Я.Высшая математика в упражнениях и задачах./ П.Е. Данко., А.Г.Попов., Г.Я. Кожевников –М.:Высш.школа,1986.

7.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/-М:Высш.школа,1998.

8.Зубков А.Н.Роль математики в формировании общекультурных и профессиональных качеств при подготовке современных специалистов в техническом

ВУЗе./ А.Н Зубков.- г.Таганрог. Аспекты модернизации образования и развития промышленности. Материалы VIII региональной научнот-пракической конференции учреждений высшего и профессионального образования,2010,с.69-72.

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-20; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 406 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Сложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © Амелия Эрхарт
==> читать все изречения...

790 - | 717 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.