Системы линейеых уравнений

Пример.1.2 Дана квадратная матрица

Найти её определитель det A.

Решение. Найдём det A, применив разложение Лапласа по элементам первой строки матрицы A:

Пример 1.3

Вычислим определитель

Для этого в начале преобразуем его с помощью элементарных преобразований:

∆ = =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= ,чтобы получить побольше нулей. Раскроем затем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа. Получим

∆ = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ = а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

∆ = - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + +2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -(3∙7+2∙10)=-41.

Операции над матрицами

Вычислить А ² - 3 АВ, где

А = В =

Решение. Находим матрицу

А ² = А ∙ А = ∙ .

Для получения элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца матрицы В (т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы В; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца матрицы В; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы В)и их произведения сложим.Для получения элемента, стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы В и их произведения сложим и т.д. В итоге получим матрицу размером 3×3:

А² =

= =

Аналогично находим матрицу :

А ∙ В = ∙ =

=

= =

Вычисляем затем матрицу

3∙ А ∙ В = 3∙ = (Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.)= .

Таким образом, получим, что матрица

А ² - 3 АВ = - = (Чтобы сложить две матрицы, надо сложить их соответствующие элементы.)= .

Системы линейеых уравнений

Пример Решить методом Гаусса СЛАУ вида

Здесь число неизвестных n= 4.

Решение. Приведём расширенную матрицу этой СЛАУ путём элементарных преобразований нал её строками к ступенчатому виду

~ ~

~ ~

На основании этого СЛАУ запишется в эквивалентном ступенчатом виде:

Так как для матрицы A данной системы её ранг < 4, то эта система имеет бесконечное множество решений, из которых 2 являются базисными. Положим за базисное решение, так как в матрице A системы имеется соответствующий им базисный минор ¹.0. Тогда полученную систему запишем в эквивалентном виде:

.

Из этой системы обратным ходом находим базисные неизвестные

.

Здесь - свободные неизвестные или параметры. Если положить , то получим соответствующее частное решение системы

; ; ; .

Пример

. Решить методом Гаусса СЛАУ

Решение. Приведём расширенную матрицу этой СЛАУ с помощью элементарных преобразований над её строками к ступенчатому виду:

.

На основании этого СЛАУ запишется в эквивалентном треугольном виде:

Отсюда методом обратного хода получаем её единственное решение:

.

Пример 1.4. Решить однородную систему уравнений:

Решение. Здесь , и r (A) = 2, т.к. в матрице А имеется минор =1¹0; а п =3. Следовательно r (A) < п, т.е. эта система имеет бесконечное множество решений. Так как существует базисный минор =1¹0 матрицы А, то можно записать данную систему следующим образом:

.

Найдём её решение по методу Крамера (6.3). Имеем

= 2 x ₃; = 3 x ₃.

Отсюда, по формулам (6.3) получим ; . Здесь x ₁ ,x₂ – базисные неизвестные, а x₃ – параметр. Если положить, что параметр х ₃=0, то х ₁=0, х ₂=0; т.е. получим частное решение системы, а если х ₃=1, то х ₁=2, х ₂=3, то находим второе частное решение.

Пример

Найти решение и ФСР однородной СЛАУ.

Решение. Решим эту систему методом Гаусса. Так как для ОСЛАУ расширенная матрица совпадает с её матрицей A,то рассмотрим матрицу

А =

и введём элементарные преобразование над строками этой матрицы в виде схематичных равенств С ₂:= 2 С ₁+ С ₂; С ₃:= 2 С ₁+ С ₃, где -обозначения строк матрицы A. В результате получим, что

A ~ (С ₃:= С ₂+ С ₃) ~

Отсюда видно, что r (A) =3, т.е. ФСР состоит из п - r = 6 -3=3 решений. Чтобы найти ее, выберем х ₁, х ₂, х ₃ за базисные переменные. Тогда система запишется в эквивалентной форме вида

Обратный ход метода Гаусса дает значение базисных неизвестных х ₁, х ₂, х ₃ через значения свободных переменных х ₄, х ₅, х ₆:

или

Присваивая для х ₄ значения (1,0,0), для х ₅ значения (0,1,0), для х ₆ значения (0,0, 1) находим последовательно из полученной системы соответствующие частные значения для базисных переменных х ₁, х ₂, х ₃ в виде таблицы:

Таким образом, ФСР для данной СЛАУ имеет вид:

=(14, 11,-2,1,0,0)

=(-4, -3, 0,0,1,0)

=(1, 0,1,0,0,1)

Решить систему уравнений

(1)

1) методом Гаусса;

2) по правилу Крамера;

3) матричным способом.

Решение.

1).Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу, соответствующую данной системе (1):

Приведем эту матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразованийнад её строками, а именно:

- перестановкой строк;

- умножением элементов строки матрицы на число;

- сложением соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов двух строк и помещение сумм этих элементов на место соответствующих элементов одной из складываемых строк.

Чтобы привести матрицу к треугольному виду надо получить нули на месте элементов, стоящих под главной диагональю. Сперва получим нули в первом столбце, находящиеся, во второй, третьей и четвертой строках, т.е. надо изменить вторую, третью, четвертую строки. Так как первая строка не изменяется, изменения в других строках будем производить относительно нее: выберем на главной диагонали неизменяемой строки главный элемент, в нашем примере это 2. Если в столбце, в котором мы хотим получить нули, имеется 1, то для облегчения счета строку с1 на первом месте лучше поставить на место первой строки и сделать ее, тем самым, неизменяемой.

Внашем примере, вторая строка содержит на первом месте 1. Поменяем ее с первой строкой. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂ С ₁,

(здесь С ₂ –обозначение второй строки, С ₁ – первая строка). При этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет 1.Обведем ее в квадрат. Чтобы получить на месте 2 во второй строке 0, надо каждый элмент первой строки умножить на (-2) и сложить с соответствующим элементом второй строки и их сумму записать на место соответствующего элемента второй строки. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

(здесь:= - это оператор присваивания, т.е. значение выражения с правой стороны записывается на место величины, стоящей слева). При этом получим эквивалентную матрицу

Чтобы получить вместо числа 3 нуль в третьей строке, проделаем операцию С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃, а чтобы получить вместо (-1) нуль в четвёртой, проделаем операцию С ₄:= С ₁ + С ₄.В результате получим эквивалентную матрицу

Теперь нужно получить нули во втором столбце в строках три и четыре, т.е. изменяемыми будут третья и четвертая строки. Выберем главный элемент в неизменяемой второй строке во втором столбце и который стоит на главной диагонали (в примере это 3), но среди изменяемых строк имеется четвёртая строка, в которой во втором столбце стоит 1.Поэтому поменяем ее со второй строкой, в которой мы выбрали главный элемент (т.е. надо поменять местами вторую и четвертую строчки):

С ₄ С ₂.При этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет элемент 1. Заключим его в квадат.Что-бы получить вместо 5 нуль в третьей строке, проделаем операцию С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃, а чтобы получить вместо 3 нуль в четвёртой строке, проделаем операцию С ₄:= -3 С ₂ + С ₄. В итоге получим эквивалентную матрицу

Осталось получить нуль в третьем столбце четвертой строки. Главный элемент выбираем в третьем столбце и третьей строке (это -22).Так как изменяемой будет только четвертая строка и среди изменяемых строк в третьем столбце нет единицы, то (-22) и будет главным элементом. Чтобы получить вместо -15 нуль в четвёртой строке, проделаем следующую операцию

С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄.При этом получим эквивалентную матрицу

Разделим последнюю строчку полученной матрицы на 41,т.е. проведём операцию С ₄:= С ₄: 41. Получим эквивалентную матрицу

Построим по полученной матрице эквивалентную (1) систему уравнений.

Из последнего уравнения находим x ₄ = - 1. Применяя метод обратного хода, подставим это значение в предпоследнее уравнение. Получим:

- 22 x ₃ - 35∙ (-1) = - 9. Отсюда получим,что

.

Подставляя найденные значения х₄ и х₃ во второе уравнение, получим

x ₂ +3∙2 + 5∙(-1) = 2, откуда x ₂ = 2 – 6 +5 =1. Подставляя затем найденные значения для x ₄ , х₃ и x ₂ в первое уравнение получим

x ₁ - 1 + 2∙2 +3∙(-1) = 1 или x ₁ = 1.

Ответ: .

2).Решим эту систему по правилу Крамера,применяя формулы(6.3). .

Составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

и запишем столбец свободных членов системы:

В = .

Вычислим главный определитель системы, отвечающий матрице А. Для этого в начале преобразуем его с помощью элементарных преобразований:

∆ = =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= ,чтобы получить побольше нулей. Раскроем затем этот определитель по элементам второго столбца по правилу Лапласа. Получим

∆ = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ = а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

∆ = - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + +2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -(3∙7+2∙10)=-41.

Чтобы получить определитель ∆ _х, заменим первый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

∆ _х = =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _х = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ == а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

∆ _х = - = - (1∙(3∙4 -1∙5)+0 +

+2∙ (4∙5- 3∙1) = - (1∙7+2∙17)= - 41.

Чтобы получить определитель ∆ _у, заменим второй столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

∆ _у = =(С ₃:= -4∙ С ₂ + С ₃, С ₄:= - С ₂ + С ₄ )=

= =

Вынесем минус за знак определителя из третей и четвертой строк, получим

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:∆ _у = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ == а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂==0 + 1∙(-1)²⁺² +0+0 = .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

=2∙9∙1 + 2∙(-2)∙13 + (-1)∙1∙1 –(-1)∙9∙2 - 1∙(-2)∙1 - 2∙1∙13 = 18-52-1 +18 +2 -26= =-41 =∆ _у..

Чтобы получить определитель ∆ _z, заменим третий столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

∆ _z = =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _z = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ = а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

∆ _z =- (3∙4∙4 +1∙1∙(-5) + 1∙(-1)∙2 - 2∙4∙(-5) - 1∙1∙3 - 1∙(-1)∙4) =

=-(48 -5 -2 +40 -3+4)=-82

Чтобы получить определитель ∆ _t, заменим четвертый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.Получим

∆ _t = =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _t = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ =

= а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=

=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

∆ _t =- (3∙3∙1 +0∙4∙(-5) + 1∙(-1)∙5 - 1∙3∙(-5) - 0∙1∙(-1) - 5∙3∙4) =

=-(9 +0 -5 +15 +0-60) = 41.

Тогда

x = = =1; y = = =1; z = = = 2; t = = = - 1.

Ответ: .

Обратная матрица

Запишем систему (1)

.

через произведение матриц по формуле (2.3). Для этого составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

столбец свободных членов В = и столбец неизвестных Х = .

Тогда система уравнений запишется в матричном виде

∙ = ,

т.е. А∙Х =В. Откуда находим,что Х = А^{- 1} ∙В.

Найдем обратную матрицу А ^-1. Для этого

1) вычислим главный определитель матрицы

= =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

= = 1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 =

= - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 +

2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = - (3∙7+2∙10)= - 41.

2) построим матрицу ( _ij) из алгебраических дополнений ij элементов матрицы А.

Найдем эти алгебраические дополнения (определители вычисляем по правилу треугольника):

₁₁ = (-1)¹⁺¹ ∙ = 2 - 4 +6+6-1-8 = 1,

₁₂ = (-1)¹⁺² ∙ = -(-2 + 2 +9 - 3+1- 12) = 5,

₁₃ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 1 + 18+6 +2+6 = 35,

₁₄ = (-1)⁵ ∙ = -(2 - 1 + 12+ 4+2 + 3) = -22,

₂₁ = (-1)³ ∙ = -(-2 + 4 - 2- 2+1+ 8) = -7,

₂₂ = (-1)⁴ ∙ = -4 - 2 - 3+ 1+2+ 12 = 6,

₂₃ = (-1)⁵ ∙ =-(8 - 6 + 1- 2 + 4- 6) = 1,

₂₄ = (-1)⁶ ∙ = 4 + 1 – 12 – 4 + 4- 3 = -10,

₃₁ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 12 +1+4-4-3 = -10,

₃₂ = (-1)⁵ ∙ = -(8 - 1 +6 - 2- 6+ 4) = -9,

₃₃ = (-1)³⁺³ ∙ = -4 - 3 - 2+ 1- 12- 2 = -22,

₃₄ = (-1)⁷ ∙ = -(-2 - 2 - 4+ 2-8- 1) = 15,

₄₁ = (-1)⁵ ∙ = -(-2 - 1 – 12 +4 + 3 + 2) = 6,

₄₂ = (-1)⁶ ∙ = -4 – 18 + 1+6 + 6- 2 = -11,

₄₃ = (-1)⁷ ∙ = -(2 - 2 + 9 - 3-12 +1) = 5,

₄₄ = (-1)⁸ ∙ = 2- 4 +6 - 6- 8+ 1 = -9.

Полчили матрицу

( _ij) = .

3) Находим присоединённую матрицу ( _ji) = ( _ij) ^T :

( _ji) = .

4) Получаем по формуле (2.2) обратную матрицу

А ^-1 = = ∙ =

Тогда

Х = ∙ ∙ =

= = = = = .

Ответ: .

Рассмотрим второй способ получения обратной матрицы А ^-1.

Используется формула вида (9.9):

,

где Е – единичная матрица; А – заданная матрица; - обратная матрица.

С ₁ С ₂

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= С ₁ + С ₄,

С ₄ С ₂

С ₁:= С ₂ + С ₁, С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃, С ₄:= -3 С ₂ + С ₄,

С ₁:= 5 С ₃ + 22 С ₁, С ₂:= 3∙ С ₃ + 22 С ₂, С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄,

С ₁:=- С ₄ +41 С ₁, С ₂:= -5∙ С ₄ + 41 С ₂, С ₃:=35∙ С ₄ +41∙ С ₃

Разделив первую и вторую строки матрицы на 902, третью на -902.а четвертую на 41, получим

,

А ^-1 = .

Задание №3

Найти фундаментальную систему решений.

.

Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

С ₂ С ₁

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂, С ₃:= С ₁ + С ₃, С ₄:= - С ₁ + С ₄

С ₃:= -5 С ₂ + С ₃, С ₄:= - С ₁ + С ₄

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

С ₄:= - С ₃ + С ₄

Составим по полученной матрице систему уравнений

или либо .

Таким образом, имеем .

Обозначим t = С. Тогда система имеет множество решений:

. При С = 1 получим ФСР, т.е.

или .

Задание №1

1.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить А ² + ВА+2В.

2.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить А ² + АВ-3В.

3.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² + АВ- 3 А.

4.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² - 3 В + ВА.

5.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² +2А + ВА.

6.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить 2 А ² -3В + ВА.

7.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² - 2 В + 3ВА.

8.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² -3В + 2 АВ.

9.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить 2А ² - 3 В + ВА.

10.Даны матрицы

А = и В = .

Вычислить В ² -4А + ВА.

Задание №2

Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным способом.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Рекомендуемая литература

1.Кострикин А.И.Введение в алгебру/А.И..Кострикин.-М.:Наука,1977.

2.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы/Н.В.Ефимов.-Наука,1964.

3.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М.Гельфанд.- Наука,1971.

3.Карасев А.И.,Аксютина З.М.,Савельева Т.И.Курс высшей математики для экономических вузов.Ч.I,II /А.И. Карасев., З.М.Аксютина, Т.И.Савельева – М.:Высш.школа,1982.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Я.С Бугров, С.М.Никольский.- М.:Наука,1984.

5.Шипачев В.С. Высшая математика./В.С. Шипачев.- М.: Высшая школа,1985.

6.Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевников Г.Я.Высшая математика в упражнениях и задачах./ П.Е. Данко., А.Г.Попов., Г.Я. Кожевников –М.:Высш.школа,1986.

7.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/-М:Высш.школа,1998.

8.Зубков А.Н.Роль математики в формировании общекультурных и профессиональных качеств при подготовке современных специалистов в техническом

ВУЗе./ А.Н Зубков.- г.Таганрог. Аспекты модернизации образования и развития промышленности. Материалы VIII региональной научнот-пракической конференции учреждений высшего и профессионального образования,2010,с.69-72.