Подмножество
Определение 8.
Пусть A и B – какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт как 
или 
.
Это же определение можно переписать на языке сокращений:
.
Читается оно так: "Если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B ". Из введенного определения, очевидно, следует утверждение, если и 
, то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.
Замечание!!!
Пустое множество 
по определению считается подмножеством любого множества, т. е. 
A.
Определение 9.
Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и , называется собственным подмножеством и обозначается 
.
Это так называемое "строгое" включение множества A в множество B.
ПРИМЕР 6.
, 
. Однако интервалы [1,2] и (1,3] не удовлетворяют никаким условиям включения. В каждом из этих множеств есть элементы, не принадлежащие другому множеству.
Свойства включений
1) 
;
2) и 
A = B;
3) и 
.
Определение 10.
Подмножества B и множества B называются его несобственными подмножествами.
Вывод!!!
ПРИМЕР 7.
Всевозможные подмножества множества A ={ a, b } суть 
, { a }, { b }, { a, b }, из которых { a }, { b } – собственные подмножества множества A.
Заключение
В лекции начато изучение высшей математики. Введено важное понятие множества. Важно понять, что множество – это совокупность элементов. Одно множество может быть элементом другого множества, поэтому, рассматривая какие-либо математические операции, действия, графики и т. д., важно определиться, каким множеством мы оперируем, иначе все выводы нельзя принять верными.
Отметим следующее:
- множество есть многое, мыслимое нами как целое;
- само множество может быть элементом другого множества;
- для быстроты и простоты записи используют сокращения;
- пустое множество единственное;
- в равных множествах последовательность элементов не важна;
- важно различать – подмножество и 
– собственное подмножество.
Литература
1. Москинова Г.И. Дискретная математика. – М.: Логос, 2002. – 240 с.
2. Яблонский Я. В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2001, - 384 с.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
Лекция 2
Алгебра множеств
Операции над множествами. Диаграммы Венна
Принцип двойственности
