Само множество может быть элементом другого множества.

Подмножество

Определение 8.

Пусть A и B – какие-то два множества. Если любой элемент x множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B и обозначают этот факт как или .

Это же определение можно переписать на языке сокращений:

.

Читается оно так: "Если элемент x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B ". Из введенного определения, очевидно, следует утверждение, если и , то A = B, т.е. множества A и B состоят из одних и тех же элементов.

Замечание!!!

Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества, т. е. A.

Определение 9.

Подмножество A множества B, отличное от самого множества B и , называется собственным подмножеством и обозначается .

Это так называемое "строгое" включение множества A в множество B.

ПРИМЕР 6.

, . Однако интервалы [1,2] и (1,3] не удовлетворяют никаким условиям включения. В каждом из этих множеств есть элементы, не принадлежащие другому множеству.

Свойства включений

1) ;

2) и A = B;

3) и .

Определение 10.

Подмножества B и множества B называются его несобственными подмножествами.

Вывод!!!

Пустое и одноэлементное множества обладают только несобственными подмножествами. Однако если множество содержит по крайней мере два элемента, то оно имеет и собственные подмножества.

ПРИМЕР 7.

Всевозможные подмножества множества A ={ a, b } суть , { a }, { b }, { a, b }, из которых { a }, { b } – собственные подмножества множества A.

Заключение

В лекции начато изучение высшей математики. Введено важное понятие множества. Важно понять, что множество – это совокупность элементов. Одно множество может быть элементом другого множества, поэтому, рассматривая какие-либо математические операции, действия, графики и т. д., важно определиться, каким множеством мы оперируем, иначе все выводы нельзя принять верными.

Отметим следующее:

- множество есть многое, мыслимое нами как целое;

- само множество может быть элементом другого множества;

- для быстроты и простоты записи используют сокращения;

- пустое множество единственное;

- в равных множествах последовательность элементов не важна;

- важно различать – подмножество и – собственное подмножество.

Литература

1. Москинова Г.И. Дискретная математика. – М.: Логос, 2002. – 240 с.

2. Яблонский Я. В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2001, - 384 с.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

Лекция 2

Алгебра множеств

Операции над множествами. Диаграммы Венна

Принцип двойственности