Пример 1.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых величин, имеем неопределенность вида 
.Учитывая, что
, имеем, 
.
Воспользуемся по правилу 4.1 первым замечательным пределом 
. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 
:
=4 
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить предел 
.
Решение.
Имеем неопределенность вида .
Сделаем замену переменной 
, при 
, и воспользуемся формулами тригонометрии
.
Заменим бесконечно малые функции эквивалентными при :
~ 
, 
~ 
, 
~ ,
тогда
.
Ответ: 
.
Второй замечательный предел
Пример 1.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
.
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы можно было использовать второй замечательный предел, правило 4.2,
.
При 
.
Сформируем степень, учтем, что 
и
. Получим,
е 
=е 
=
= 
=-5.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
При 
выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице: 
, а показатель к бесконечности 
.
Таким образом, мы имеем дело с неопределенностью вида 
.
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы по правилу 4.2 использовать второй замечательный предел 
е:
(т.к. при 
то 
).
Ответ: 
.
Пример 3.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Поскольку 
и 
=0,то выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при x 
1 (неопределенность вида ). Воспользуемся правилом 4.2.
Сделаем замену переменной 
,
(где 
- одна из форм второго замечательного предела)
Ответ: 
.
Пример 4.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Здесь имеет место неопределенность 
.
Воспользуемся свойствами логарифмов
и 
,
а также вторым замечательным пределом, правило 4.2:
Ответ: 
.
Одновременное использование первого и второго замечательных пределов
Пример 1.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Имеем неопределенность .
Воспользовавшись правилом 4.2, умножим числитель и знаменатель на 
. При 
, поэтому воспользуемся одной из форм второго замечательного предела .
.
Использовали правило 4.1. При 
,
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Имеем неопределенность . В числителе добавим и вычтем 1:
.
Затем поделим числитель и знаменатель дроби на 
и воспользуемся свойствами пределов, первым замечательным пределом 
(правило 4.1) и одной из форм второго замечательного предела: 
(правило 4.2).
.
Ответ: 
.
Варианты контрольных заданий
Вариант № 1
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) 0; 3) 
; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) 1; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 4; 2) 3; 3) - 
; 4) -3.
Найти предел
Ответы:
1) 4; 2) ; 3) -3; 4) 3.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 0; 3) ; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 
; 3) 0; 4) -1.
Вариант № 2
Найти предел
Ответы:
1) 0 2) 
; 3) 2; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) 3; 2) 
; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) -2; 3) 1; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ; 3) 1; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 0; 3) 
; 4) 
;
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) 
; 3) ; 4) 
.
Вариант № 3
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 
; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) 1; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 0; 3) 
; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 1; 3) 2; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 0; 3) ; 4) 2.
Вариант № 4
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 0; 3) 
; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) ; 
2) 2; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) -1; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) e; 2) 2; 3) 
; 4) 
.
Вариант № 5
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) 1; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) -3; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) 
; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) ; 3) 4; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) -1; 3) 0; 4) 
.
Вариант № 6
Найти предел
Ответы:
1) -2; 2) ; 3) ; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 0; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) 0; 3) ; 4) 8;
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 0; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 1.
Вариант № 7
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) 0; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) -1; 2) 
; 3) ; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) -2; 2) 1; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 3; 2) -1; 3) 0; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 2; 3) -1; 4) -2.
Вариант № 8
Найти предел
Ответы:
1) -4; 2) 4; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 1; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) -1; 3) 
; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 2; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) ; 4) 
.
Вариант № 9
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) 2; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) 0; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) 0; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 1; 3) ; 4) 0.
Вариант № 10
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) 2; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) 0; 4) -3.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) 
; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) 1; 4) .
Вариант № 11
Найти предел
Ответы:
1) -2; 2) 
; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) -5; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) 2; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) 2; 4) -2.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 0; 3) ; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) ; 4) .
Вариант № 12
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 
; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ; 3) 
; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 1; 3) 0; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 0; 3) 
; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) -1; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ; 3) 
; 4) .
Вариант № 13
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) 
; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) -1; 3) ; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) -1; 2) 0; 3) ; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) а; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) -5; 4) .
Вариант № 14
Найти предел
Ответы:
1) n; 2) 
; 3) 0; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) -1; 3) ; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) -1; 3) е; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 3; 3) -1; 4) -3.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) 
; 3) 1; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 0; 3) ; 4) -2.
Вариант № 15
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 1; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) -1; 4) 1.
Найти предел
Ответы:
1) е; 2) 0; 3) 1; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) -2; 3) ; 4) 0.
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) -1,75; 3) 0; 4) 1,75.
Вариант № 16
Найти предел
Ответы:
1) 2; 2) 0; 3) -2; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 4; 3) 0; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) 2.
Найти предел
Ответы:
1) 3; 2) 1; 3) 0; 4) -1.
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) ; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) ; 3) 0; 4) -1.
Вариант 17
Найти предел
Ответы:
1) ∞; 2) 0; 3) 
; 4) 
.
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) .
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 1 3) 
; 4) 
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) -∞; 3) 0; 4) ∞
Найти предел
Ответы:
1) ∞; 2) 0; 3) ; 4)
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) ; 3) 0; 4) 
Вариант 18
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ∞; 4)
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 1; 3) 
; 4) 0
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) 1; 3) 
; 4) 
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 0; 3) ; 4) ∞
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ; 3) ∞; 4) 
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) 
; 3) ∞; 4) -2
Вариант 19
Найти предел
Ответы:
1) 
; 2) ∞; 3) 0; 4) 
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) -3; 3) ∞; 4) 9
Найти предел
Ответы:
1) ; 2) 4; 3) ; 4) -4
Найти предел
Ответы:
1) ∞; 2) -1; 3) 0; 4)
Найти предел
Ответы:
1) 4; 2) 1; 3) 
; 4) 3
Найти предел
Ответы:
1) е; 2) ; 3) ; 4) ∞
Вариант 20
Найти предел
Ответы:
1) -5; 2) ; 3) ; 4) 0
Найти предел
Ответы:
1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) ∞
Найти предел
Ответы:
1) ∞; 2) 0; 3) ; 4) е
Найти предел
Ответы:
1) 12; 2) 0; 3) -3; 4) 
Найти предел
Ответы:
1) -2; 2) 0; 3) 1; 4) 4
Найти предел
Ответы:
1) 0; 2) ∞; 3) 5; 4) 1
Список использованной литературы
1. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. 4-е изд., стереотипное – СПб.: Издательство «Лань», 2001. – 736 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. – 3-е
