1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов:
, 
.
2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:
, 
.
В частности:
· постоянный множитель можно выносить за знак предела:
, 
;
· предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:
, 
3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:
, 
.
4. Предел корня к – й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:
, 
.
Отметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях операций (1) – (3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы 
и 
.
Например, если
, 
,
то и не имеют пределов, в то время как
,
.
Операции над пределами во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли числовая последовательность предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими последовательностями, существование и величина пределов которых известны.
Неопределенности различного вида
Пусть даны две последовательности 
, 
и 
. Рассмотрим отношение этих последовательностей. О пределе этого отношения последовательностей заранее ничего определенного сказать нельзя, так как в зависимости от самих последовательностей предел их отношения может принимать различные значения. Например:
если 
, 
, то 
;
если 
, 
, то 
;
если 
, , то 
;
если 
, , то 
,
а этот предел не существует.
Таким образом, для нахождения предела последовательности 
недостаточно знать, что 
, 
. Нужны еще дополнительные сведения о характере изменения и 
.
Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.
Возникают неопределенности различного вида.
1. Если , , то говорят, что выражение 
представляет собой неопределенность вида 
.
2. Если 
, 
, то выражение также представляет собой неопределенность и ее называют неопределенностью вида 
.
3. Если , , то для выражения 
получаем неопределенность вида 
.
4. Если 
, 
, то выражение 
представляет собой неопределенность вида 
.
Раскрыть соответствующую неопределенность – это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения.
§3. Неопределенность вида
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида надо числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
Пример 1.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
Дробь 
- есть отношение двух бесконечно больших величин, о котором без исследования ничего определенного сказать нельзя –неопределенность вида 
. Здесь также нельзя применить теорему о пределе частного, так как в условии этой теоремы предполагается, что пределы числителя и знаменателя существуют, а в нашем случае при 
.
В этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби делят на наивысшую степень n,встречающуюся в членах дроби (в данном случае на n 
).
.
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
Здесь неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень n, встречающуюся в дроби, т.е. на 
:
.
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Вычислить предел 
.
Решение.
При 
,
т.е. возникает неопределенность вида .
Последовательность sin n ограничена (
).
Разделим числитель и знаменатель дроби на n
=
,
т.к. 
бесконечно малая последовательность при и произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность, поэтому 
при .
Ответ:
.
§4. Неопределенность вида в случае арифметической, геометрической прогрессий и факториалов
Правило 1.
Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае арифметической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: 
.
Пример 1.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
В знаменателе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.
В нашем случае 
, тогда
.
Получаем, 
= 
.
Ответ:
.
Правило 2.
Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае геометрической прогрессии надо воспользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: 
.
Пример 2.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
Данная последовательность представляет собой сумму двух геометрических прогрессий:
.
Применим формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Для первой прогрессии 
для второй прогрессии 
.
Имеем,
=
= 
т.к. если число 
то 
при 
Ответ:
.
Правило 3.
Чтобы раскрыть неопределенность вида в случае факториалов надо выразить все факториалы последовательности через наименьший и сократить на него.
Пример 3.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
По определению 
,
,
.
Поэтому, числитель и знаменатель стремятся к 
, т.е. мы имеем неопределенность вида . Выберем наименьший факториал и выразим через него все остальные. В нашем примере наименьшим будет 
. Тогда 
, 
. Имеем
Здесь 
при .
Ответ: 
.
§5. Неопределенность вида
Правило.
Неопределенность вида , получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратных корней последовательность домножается на сопряженное выражение и применяется формула 
. В случае кубических корней последовательность домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула 
.
Пример 1.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
При вычислении данного предела мы не мажем применить теорему о пределе разности двух переменных, ибо эта теорема верна только в том случае, когда обе переменные имеют предел. В нашем случае при 
, и мы имеем дело с разностью двух положительных бесконечно больших величин. Без специального исследования этой разности ничего определенного сказать нельзя, т.е. имеем неопределенность . Данная неопределенность раскрывается путем избавления от иррациональности. Вспоминая формулу 
, умножим и разделим выражение 
на сопряженное 
.
После преобразований получили дробь, у которой числитель и знаменатель бесконечно большие последовательности (
, 
, 
, а следовательно, и 
). Возникает неопределенность , которая раскрывается путем деления числителя и знаменателя на n в наибольшей степени, в нашем случае на n.
так как при 
предел числителя равен 5, а знаменатель есть величина бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых величин. Т.е. мы имеем дело с величиной, которая обратна бесконечно малой, а такая величина есть бесконечно большая.
Ответ:
.
Пример 2.
Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение.
При 
, поэтому имеем дело с неопределенностью вида .
Для раскрытия неопределенности применим формулу 
.
Положим 
, а затем умножим и разделим на неполный квадрат разности выражения 
. Имеем,
т.к. знаменатель дроби при есть сумма трех положительных бесконечно больших величин, а поэтому есть величина бесконечно большая. Величина же, обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, предел которой равен нулю.
Ответ: 
.
