При решении системы линейных уравнений с двумя переменными
Применяя к системе метод уравнивания коэффициентов, получим:
.
Предположим, что 
. Тогда
.
Общий знаменатель значений и называется определителем системы уравнений, в данном случае число 
называется определителем второго порядка и обозначается 
или 
Пример:
Введение определителей второго порядка не вносит существенных упрощений в решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, и без этого не представляющее никаких затруднений. Аналогичные методы для случая системы трех линейных уравнений с тремя переменными оказываются ужу практически полезными. Пусть дана система линейных уравнений с тремя переменными:
тогда определителем третьего порядка будет выражение: (для его записи употребляется такая же символика, как и в случае определителей второго порядка), таким образом
Пример:
30 + 2 - 24- 12 + 20 – 6 = 10
Решение систем линейных уравнений методом Крамера:
система имеет единственное решение при условии, что определитель системы не равен нулю.
Решение системы находится по формулам:
; 
; 
. Где
.
Пример: 1. Решить систему уравнений методом Крамера.
Вычислим главный определитель:
следовательно система не имеет решений.
Пример: 2. 
Решение:
;
;
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса:
Постепенным исключением переменных находим 
Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, вычтем из второго уравнения первое, а к третьему уравнению прибавим первое умноженное на (-3). Получим:
Оставим второе уравнение неизменным, исключив у из третьего, умножив второе уравнение на (-1) и сложив с третьем уравнением получим.
Из третьего уравнения найдем z
Ответ: 5; 3; 1.
Функция и пределы
Функция –зависимость, между двумя множествами Х и У, при котором одному элементу из множества Х поставлено в соответствие не более одного элемента из множества У.
Переменная у называется функцией переменной х.
Символически функциональная зависимость записывается с помощью равенства:. Множество всех действительных значений х, при которых функция существует называется областью определения функции.
Обозначается:
Пример: найти область определения функции: 
Решение. Функция определена при всех значениях переменной х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль. Решив уравнение 
, найдем его корни. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой, кроме точек 
.
Множество всех действительных значений у, которые может принимать функция называется множеством значений функции.
Обозначается:
Зависимость между аргументом x и функцией можно представить в виде некоторой линии.
Определение: графиком функции
называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству.
Функция называется чётной, если перемена знака у аргумента не меняет значение функции, т. е. 
График четной функции – кривая симметричная относительно оси ординат.
Функция называется нечётной, если перемена знака у аргумента изменяет только знак самой функции, т. е. 
График нечетной функции – кривая симметричная относительно начала координат.
Понятие предела переменной величины - одно из важнейших понятий математики.
§ Число 
называется пределом функции
при 
, если для любой последовательности аргументов
сходящихся к 
, соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Предел функции обозначается символом:
Функция называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю
Функция называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.
Теоремы о пределах:
Следствия:
,
Примеры:
1.Вычислить предел:
По правилам нахождения предела многочлена находим
2.Вычислить предел:, по правилам нахождения предела многочлена находим
3.Вычислить предел:
В данном случае теорема о пределе частного частично не применима, т.к. при 
, знаменатель равен нулю. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: 
и 
Здесь корни уравнения
4. Вычислить пределы:
1.
2.
умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю, т.е. на 
, получим
5. Вычислить предел:
Решение: используя первый замечательный предел
имеем
6. Вычислить предел:
Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на 
,
Здесь функции 
при 
бесконечно малы и их предел равен нулю.
Производная.
Определение: Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к
приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю:
Обозначается 
, y’.
Основные правила дифференцирования. (нахождения производной):
- производная алгебраической суммы функций,
- производная произведения двух функций,
- производная частного.
Обозначения: С – постоянная; – аргумент.
Производные степени и корня:, С'=0,
,
Физические приложения производной:
При прямолинейном движении точки скорость в данный момент t есть производная от пути s по времени t, вычисленная при
Ускорение движения точки находится по формуле:
.
Производные логарифмических и показательных функций:
Производные тригонометрических функций:
Производные обратных тригонометрических функций:
Примеры: применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:
1. 
2. 
3. 
;
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Приведем функцию к виду:
, тогда
= 
