Упражняясь по нахождению той или иной величины из формулы, ты выполнял завершающую математическую часть каких-то физических задач. Если упражнение – повторное выполнение действий, то задача – это вопрос или проблема, требующие решения на основании знаний и размышления.
Простейшие задачи сводятся к подстановке чисел в основную формулу, которая определяет физическую величину, соотношение между величинами или закон.
Так, для нахождения плотности, зная массу и объём тела, достаточно подставить их числовые значения в формулу, дающую определение плотности. В «Дано» я не буду указывать числовые значения величин, считая, что они известны.
1.Дано:
| 
|
|
Такие задачи – мечта учащегося! Многие считают, что решение любой задачи сводится к нахождению необходимой формулы. Но это не так. Та же самая формула позволяет решить ещё две задачи – найти массу m и объём тела V.
2.Дано
|  Следовательно 
т.е.  и
|
|
В случае 2, из исходной формулы выражается m по алгоритму для группы B. Если ты выработал автоматизм при работе с формулами, то сразу сможешь записать формулу (2) – решение этой задачи. Но это не значит, что первая и вторая формулы равноценны. Формула (1) – исходная, основная, а (2) – производная, результат математических преобразований формулы (1).
3.Дано:
|  Следовательно
 а  и 
|
|
В случае 3, пользуясь тем же алгоритмом, находим V. И снова получаем производную от (1) формулу. И точно так же, решая и эту задачу, мы можем опустить математические преобразования и сразу записать формулу для нахождения V. Но различия между формулой (1) и производными из неё формулами существенны: в большинстве случаев основная формула ниоткуда математически не выводится, соотношения между величинами этой формулы «подсмотрены» в природе.
Итак, простейшие физические задачи сводятся к подстановке чисел в готовую формулу, или формулу, полученную из готовой за счёт математических преобразований. Следующие по сложности задачи те, в которых одна из величин, представленных в формуле, не дана непосредственно, и её надо предварительно найти. Например:
4.Дано:
| 
Но 
Следовательно,
|
|
|
В данном случае 
нельзя найти из формулы (1) сразу, поскольку неизвестно 
. Из условий задачи – и здесь начинают требоваться знания и размышления! – следует формула (2), которая позволяет это сделать. Подставив вместо значений 
и 
числа, найдём числовое значение 
, а затем из (1) и 
.
Формулу (А4) – называют решением задачи в общем виде. Решение задачи в общем виде позволяет производить вычисления один раз, но оно важно не только этим. В старших классах почти все задачи стараются решать в общем виде, и в дальнейшем ты поймёшь почему.
Пока же рассмотрим, за счёт чего задачи усложняются. Более сложной задачей является следующая:
5.Дано:
| Известно, что:
, ,а 
Следовательно, 
|
|
|
Видно, что эта задача отличается от предыдущей тем, что из формулы (1) невозможно сразу найти 
потому, что не известна не только величина 
, но и величина 
.
Формула (3) позволяет найти числовое значение 
, подставив числовые значения 
и 
, затем найти по формуле (2) числовое значение 
, и только затем решить задачу, используя формулу (1). Здесь, опять же указано и решение в общем виде (А5).
Ты видишь, что усложнение решения только количественное – вместо одного предварительного вычисления величины, нужно делать два. Выстраивается своеобразная «цепочка» формул. Но таких предварительных вычислений может быть и больше, поэтому, чтобы не запутаться, чтобы «цепочка» не перехлестнулась, необходимо нумеровать все формулы.
Эта задача интересна тем, что в формуле (3) присутствует постоянная величина – так называемая константа – 
Если бы ты не знал, что - известная величина, то никогда бы не смог решить данной задачи. В физике есть свои постоянные величины – константы, кроме того, многие величины определены в опытах и сведены в таблицы справочников. Поэтому во многих случаях, недостающие для решения задачи величины, находятся в справочниках.
Во всех рассмотренных случаях с точки зрения математики задача сводится к решениюуравнения с одним неизвестным.
В седьмом и восьмом классах почти все задачи представляют собой такие цепочки – короткие и длиннее – формул. Затем появляются задачи следующего уровня сложности – те, в которых искомую величину нельзя найти через другую формулу, поскольку искомая величина входит и в эту формулу. Например:
6.Дано:
| Известно, что:
 
|
|
Здесь для нахождения 
необходимо найти 
, но в формуле (2) искомое присутствует в виде сомножителя. Таким образом, мы не можем найти числовое значение , как в предыдущих задачах. С точки зрения математики в данной задаче наши формулы превращаются в систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Такие системы уравнений в математике решаются разными способами, но чаще всего способом подстановки, когда из какого-либо уравнения выражают одно неизвестное, а затем подставляют найденное значение этого неизвестного в другое уравнение. Например:
Если из первого уравнения мы найдём у, перенеся 
в правую часть, то получим:
Подстановка значения у в формулу (2) даёт новую систему равносильных уравнений:
Теперь в уравнении 
только одно неизвестное х, которое мы можем найти:
Здесь раскрыли скобки у многочлена 
. Далее сгруппируем и оставим в левой части второго уравнения слагаемые с х:
Вынесем х в левой части второго уравнения за скобки:
Или
Отсюда, поделив левую и правую части второго уравнения на (-3), получим:
То есть
Мы нашли, чему равняется х, и, подставив его значение в первую формулу, найдём у.
То есть
Конечно, никто так подробно систему уравнений не решает, а опускает последовательность действий, подразумевая их. Получается примерно так:
Из (1) следует: 
. Подставляя значение у из 
в (2) получаем: 
или 
, откуда 
.
Подставляя значения х в формулу 
, получаем 
или 
.
Поскольку, опуская последовательность действий, возрастает вероятность ошибок, важно всегда писать, какие преобразования, с какой величиной и формулой ведутся.
Если ещё раз посмотреть на систему уравнений
вспомнить, что решение мы начали с того, что выразили из первого уравнения величину у, то становится ясно – это один из возможных путей решения данной системы уравнений. Можно было начать, выразив:
1. х из первого уравнения,
2. у из первого уравнения (что и было сделано),
3. у из второго уравнения,
4. х из второго уравнения.
Выбор конкретного пути нахождения неизвестных величин остаётся за решающим систему уравнений. В нашем случае мы начали с выражения у из первого уравнения достаточно произвольно, просто потому, что в первом уравнении удобнее выражать величину, числовой коэффициент которой равен 1. Кстати, нужно помнить, что коэффициенты (+1) и (-1) почти всегда в уравнениях и формулах не пишутся. То есть, система уравнений, которая только что рассматривалась, в развёрнутом виде записывается так:
Если все преобразования, которые мы производили, решая систему уравнений, ясны, то вернёмся к задаче 6.
| Дано:
| Известно, что:
|
|
|
Разве формулы (1) и (2) похожи на уравнения, в которых мы искали х и у? Но если освободиться от знаменателя в формуле (1) и условиться, что 
, а 
, то получим систему уравнений:
Или 
Эта система уравнений отличается от той, которую рассматривали, только тем, что вместо числовых коэффициентов здесь записаны буквенные коэффициенты. Сложность решения физических задач и в том, что в формулах, которые образуют систему уравнений, нет привычных записей неизвестных через 
, а коэффициенты чаще всего представлены буквами, а не числами.
Решим нашу задачу.
| Дано:
| Известно, что:
|
|
|
Поскольку в данной задаче 
уже выражено в уравнении (1), подставим её значение в формулу (2). Получим:
или 
. Освободившись от знаменателя, умножив на него обе части, имеем:
. Поменяв части местами, и извлекая из них квадратный корень, поскольку найдена не искомая величина, а её квадрат, получим:
Подставляя значение 
из формулы (А6-1) в формулу (1), найдём 
.
И снова следует заметить, что это один из вариантов решения.
Рассмотрим следующую задачу.
7.Дано:
| Известно, что:
|
|
Взяв (1) и (2) как систему из двух уравнений, видим, что неизвестных величин тоже две – 
и 
, хотя в задаче требуется найти только одну из них. При решении физических задач иногда одну из неизвестных величин в виде числа находить не нужно. Видно, что найти 
мы снова можем тремя способами, поскольку в (2) неизвестная величина 
уже выражена.
Выразим 
из (1). 
, откуда 
Подставив значение 
в (2), имеем: 
В знаменателе у нас получилась «двухэтажность» из-за деления на дробь 
. Но деление на дробь можно заменить умножением на дробь обратной данной, в данном случае на 
.Следовательно, 
Освобождаясь от знаменателя в правой части, получаем:
или 
Подставив значение 
из (3) в формулу 
находим, что
Поскольку по условиям задачи , получаем ответ:
или
Решение систем уравнений преподносит и неожиданности. К примеру:
8.Дано:
| Известно, что:
|
|
Проанализировав формулы, приходим к выводу, что неизвестных величин три - 
Перед нами система из двух уравнений с тремя неизвестными. В математики доказано: сколько неизвестных, столько и уравнений должно быть, чтобы найти эти неизвестные. Однако, выразив, к примеру, 
из (2) 
или после смены местами левой и правой частей 
и подставив значение 
в (1), получим:
. Поскольку величина 
сокращается, имеем: 
.
Таким образом, решение в общем виде может привести к сокращению неизвестных величин, которые не даны в условии задачи.
Но нет ли здесь противоречий с математикой? Никаких противоречий нет. Если посмотреть на уравнения
и 
, то можно увидеть, что в правых частях присутствует дробь 
. То есть 
и 
. Неизвестной величиной выступает именно эта дробь. Обозначив 
, получаем
и
, то есть систему двух уравнений с двумя неизвестными 
и 
.
Решение 
- это вывод формулы 
. Но в отличие от нашей задачи, когда использовались две производные формулы, в курсе физики седьмого класса она выводится из 4-х основных формул.
и 
.
При известных величинах 
неизвестными здесь оказываются величины 
(пять, но теперь мы знаем, что их четыре из-за «хитрой» дроби ). Если рассматривать четыре формулы как систему уравнений относительно этих неизвестных величин, то можно начинать решение с выражения любой неизвестной величины из любого уравнения. То есть, решение задачи 8 у нас началось с производной формулы 
которая получается в результате подстановки значения 
из 
в 
, но могло начаться и с выражения 
из 
или другим способом. Однако лучше подставить значение из в , а значение 
из 
в 
, потому что в результате сразу значительно уменьшается число уравнений (и неизвестных величин). Поскольку во многих задачах число исходных формул, то есть с точки зрения математики, число уравнений больше двух, то нужно в первую очередь поискать преобразования, которые ведут к такому уменьшению количества формул (уравнений).
Иногда это достигается достаточно просто. Рассмотрим задачу.
9.Дано:
| Известно что:
|
|
Следует обратить внимание, что формулы, которые мы видим, в таблице формул нет. Данные формулы – результат записи условий конкретной задачи с их – формул – помощью. Как это делается, изучается на уроках физики. Мы же рассматриваем только математическую сторону решения физических задач.
Итак, неизвестными величинами в этой системе из четырёх уравнений являются искомая 
, а также 
, 
, 
, 
, то есть пять величин. Снова остаётся надеяться, что две величины входят в состав дроби, которая сократится. Если бы это было не так, то для решения задачи пришлось искать пятое уравнение.
Сразу видно, что для уменьшения числа уравнений нужно приравнять правые части (1)-(2) и (3)-(4), поскольку левые их части равны. Получаем два равносильных двум первоначальным парам уравнений.
В результате мы освободились от двух неизвестных и 
, осталось три неизвестных , и , которые мы можем искать с помощью способа подстановки. Но уравнения (5) и (6) однородны: в левой части уравнений присутствует дробь 
, а в правой 
. Если мы поделим друг на друга левые и правые части уравнений, то получим равносильное уравнение, а указанные дроби сократятся. Действительно:
Или, поскольку поделить на дробь – это умножить на дробь обратную данной, 
После сокращения имеем: 
В уравнении (8) осталась только одна неизвестная искомая величина, которая легко находится, если использовать основное свойство пропорции.
Искомая величина входит в состав многочлена, и после нахождения этого многочлена 
легко выражается 
или 
Вообще же, если есть два уравнения, то равносильное им уравнение можно получить не только делением частей уравнений друг на друга, но и умножением, и сложением (вычитанием). Действительно, если 
то и 
, 
, 
и 
.
Уже ясно, что не существует раз и навсегда данных алгоритмов, которые позволяли бы единственным способом вести математические преобразования при решении задач. Почти каждая из задач требует размышлений не только со стороны физики – во время представления условий задачи в виде формул, но и со стороны математики – во время поиска оптимального, наиболее простого пути нахождения неизвестных величин из полученных формул. Рассмотрим ещё одну задачу. В ней уже специально не прописаны знаки умножения, как это всегда и делается при решении задач.
10.Дано:
| Известно, что:
|
|
Можно считать, что у нас имеются шесть уравнений. Неизвестными величинами выступают: искомая 
, а также 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Даже если знать, что величина - это физическая константа, значение которой находится в справочнике, всё равно остаётся 8 неизвестных величин. Конечно, можно начать решение способом подстановки, в надежде, что две неизвестные величины входят в состав дробей и сократятся, но лучше внимательнее присмотреться к уравнениям. Из (6) мы сразу можем найти .
Если в (5) вынести в левой части за скобки , а затем поделить на обе части, то получим:
поскольку 
Из 
мы можем найти , поскольку все величины, – в том числе и , – известны.
Таким образом, у нас осталось четыре уравнения:
Неизвестных в этих уравнениях пять - , , , , .
Поскольку в (4) есть отношение величин 
, которое мы можем получить, поделив левые части (1) и (2) друг на друга, сделаем это.
Освободившись от «двухэтажности», умножив на дробь, обратную дроби в знаменателе правой части, получим:
Или после сокращений в правой части: 
Таким образом, из уравнений (1) и (2) мы получили равносильное им уравнение (7). Из него, умножив левую и правую части на 
, чтобы сократить 
получаем: 
Теперь мы можем приравнять правые части (4) и 
Это равносильное уравнение уравнениям (4) и 
Теперь мы свели систему уравнений к двум уравнениям – (3) и (8). Подставив значение из (3) в (8) получим:
Это уравнение равносильно всем шести уравнениям. В нём одна неизвестная искомая величина , которую нетрудно найти. Учитывая, что (9) – пропорция, воспользуемся основным её свойством. Тогда
Умножив в левой части одночлен 
на многочлен 
, получаем:
Перенеся сомножители с в левую часть, а одночлен без неизвестной величины в правую, имеем:
Вынеся в левой части за скобки, приходим к уравнению 
Отсюда, поделив на сомножитель при обе части, решаем нашу задачу:
Эта задача, кроме всего прочего, показывает, насколько важно быть внимательным, ведя преобразования. Достаточно в одном месте перепутать величины и 
, и , и , 
и 
или и 
, как задача никогда не будет решена.
