РАЗДЕЛ II. Работа с формулами при решении задач по физике.

 

Упражняясь по нахождению той или иной величины из формулы, ты выполнял завершающую математическую часть каких-то физических задач. Если упражнение – повторное выполнение действий, то задача – это вопрос или проблема, требующие решения на основании знаний и размышления.

Простейшие задачи сводятся к подстановке чисел в основную формулу, которая определяет физическую величину, соотношение между величинами или закон.

Так, для нахождения плотности, зная массу и объём тела, достаточно подставить их числовые значения в формулу, дающую определение плотности. В «Дано» я не буду указывать числовые значения величин, считая, что они известны.

1.Дано:

 

 

Такие задачи – мечта учащегося! Многие считают, что решение любой задачи сводится к нахождению необходимой формулы. Но это не так. Та же самая формула позволяет решить ещё две задачи – найти массу m и объём тела V.

 

2.Дано	Следовательно т.е. и

В случае 2, из исходной формулы выражается m по алгоритму для группы B. Если ты выработал автоматизм при работе с формулами, то сразу сможешь записать формулу (2) – решение этой задачи. Но это не значит, что первая и вторая формулы равноценны. Формула (1) – исходная, основная, а (2) – производная, результат математических преобразований формулы (1).

 

3.Дано:	Следовательно а и

В случае 3, пользуясь тем же алгоритмом, находим V. И снова получаем производную от (1) формулу. И точно так же, решая и эту задачу, мы можем опустить математические преобразования и сразу записать формулу для нахождения V. Но различия между формулой (1) и производными из неё формулами существенны: в большинстве случаев основная формула ниоткуда математически не выводится, соотношения между величинами этой формулы «подсмотрены» в природе.

 

Итак, простейшие физические задачи сводятся к подстановке чисел в готовую формулу, или формулу, полученную из готовой за счёт математических преобразований. Следующие по сложности задачи те, в которых одна из величин, представленных в формуле, не дана непосредственно, и её надо предварительно найти. Например:

4.Дано:	Но Следовательно,

В данном случае нельзя найти из формулы (1) сразу, поскольку неизвестно . Из условий задачи – и здесь начинают требоваться знания и размышления! – следует формула (2), которая позволяет это сделать. Подставив вместо значений и числа, найдём числовое значение , а затем из (1) и .

Формулу (А4) – называют решением задачи в общем виде. Решение задачи в общем виде позволяет производить вычисления один раз, но оно важно не только этим. В старших классах почти все задачи стараются решать в общем виде, и в дальнейшем ты поймёшь почему.

Пока же рассмотрим, за счёт чего задачи усложняются. Более сложной задачей является следующая:

5.Дано:	Известно, что: , ,а Следовательно,

Видно, что эта задача отличается от предыдущей тем, что из формулы (1) невозможно сразу найти потому, что не известна не только величина , но и величина .

Формула (3) позволяет найти числовое значение , подставив числовые значения и , затем найти по формуле (2) числовое значение , и только затем решить задачу, используя формулу (1). Здесь, опять же указано и решение в общем виде (А5).

Ты видишь, что усложнение решения только количественное – вместо одного предварительного вычисления величины, нужно делать два. Выстраивается своеобразная «цепочка» формул. Но таких предварительных вычислений может быть и больше, поэтому, чтобы не запутаться, чтобы «цепочка» не перехлестнулась, необходимо нумеровать все формулы.

Эта задача интересна тем, что в формуле (3) присутствует постоянная величина – так называемая константа – Если бы ты не знал, что - известная величина, то никогда бы не смог решить данной задачи. В физике есть свои постоянные величины – константы, кроме того, многие величины определены в опытах и сведены в таблицы справочников. Поэтому во многих случаях, недостающие для решения задачи величины, находятся в справочниках.

Во всех рассмотренных случаях с точки зрения математики задача сводится к решениюуравнения с одним неизвестным.

В седьмом и восьмом классах почти все задачи представляют собой такие цепочки – короткие и длиннее – формул. Затем появляются задачи следующего уровня сложности – те, в которых искомую величину нельзя найти через другую формулу, поскольку искомая величина входит и в эту формулу. Например:

6.Дано:	Известно, что:

Здесь для нахождения необходимо найти , но в формуле (2) искомое присутствует в виде сомножителя. Таким образом, мы не можем найти числовое значение , как в предыдущих задачах. С точки зрения математики в данной задаче наши формулы превращаются в систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Такие системы уравнений в математике решаются разными способами, но чаще всего способом подстановки, когда из какого-либо уравнения выражают одно неизвестное, а затем подставляют найденное значение этого неизвестного в другое уравнение. Например:

 

Если из первого уравнения мы найдём у, перенеся в правую часть, то получим:

 

Подстановка значения у в формулу (2) даёт новую систему равносильных уравнений:

 

Теперь в уравнении только одно неизвестное х, которое мы можем найти:

 

Здесь раскрыли скобки у многочлена . Далее сгруппируем и оставим в левой части второго уравнения слагаемые с х:

 

Вынесем х в левой части второго уравнения за скобки:

 

Или

 

Отсюда, поделив левую и правую части второго уравнения на (-3), получим:

 

То есть

 

Мы нашли, чему равняется х, и, подставив его значение в первую формулу, найдём у.

 

То есть

Конечно, никто так подробно систему уравнений не решает, а опускает последовательность действий, подразумевая их. Получается примерно так:

Из (1) следует: . Подставляя значение у из в (2) получаем: или , откуда .

Подставляя значения х в формулу , получаем или .

Поскольку, опуская последовательность действий, возрастает вероятность ошибок, важно всегда писать, какие преобразования, с какой величиной и формулой ведутся.

Если ещё раз посмотреть на систему уравнений

вспомнить, что решение мы начали с того, что выразили из первого уравнения величину у, то становится ясно – это один из возможных путей решения данной системы уравнений. Можно было начать, выразив:

1. х из первого уравнения,

2. у из первого уравнения (что и было сделано),

3. у из второго уравнения,

4. х из второго уравнения.

Выбор конкретного пути нахождения неизвестных величин остаётся за решающим систему уравнений. В нашем случае мы начали с выражения у из первого уравнения достаточно произвольно, просто потому, что в первом уравнении удобнее выражать величину, числовой коэффициент которой равен 1. Кстати, нужно помнить, что коэффициенты (+1) и (-1) почти всегда в уравнениях и формулах не пишутся. То есть, система уравнений, которая только что рассматривалась, в развёрнутом виде записывается так:

 

Если все преобразования, которые мы производили, решая систему уравнений, ясны, то вернёмся к задаче 6.

 

 

Дано:	Известно, что:

Разве формулы (1) и (2) похожи на уравнения, в которых мы искали х и у? Но если освободиться от знаменателя в формуле (1) и условиться, что , а , то получим систему уравнений:

Или

Эта система уравнений отличается от той, которую рассматривали, только тем, что вместо числовых коэффициентов здесь записаны буквенные коэффициенты. Сложность решения физических задач и в том, что в формулах, которые образуют систему уравнений, нет привычных записей неизвестных через , а коэффициенты чаще всего представлены буквами, а не числами.

Решим нашу задачу.

Дано:	Известно, что:

Поскольку в данной задаче уже выражено в уравнении (1), подставим её значение в формулу (2). Получим:

или . Освободившись от знаменателя, умножив на него обе части, имеем:

. Поменяв части местами, и извлекая из них квадратный корень, поскольку найдена не искомая величина, а её квадрат, получим:

Подставляя значение из формулы (А6-1) в формулу (1), найдём .

И снова следует заметить, что это один из вариантов решения.

 

Рассмотрим следующую задачу.

7.Дано:	Известно, что:

Взяв (1) и (2) как систему из двух уравнений, видим, что неизвестных величин тоже две – и , хотя в задаче требуется найти только одну из них. При решении физических задач иногда одну из неизвестных величин в виде числа находить не нужно. Видно, что найти мы снова можем тремя способами, поскольку в (2) неизвестная величина уже выражена.

Выразим из (1). , откуда Подставив значение в (2), имеем: В знаменателе у нас получилась «двухэтажность» из-за деления на дробь . Но деление на дробь можно заменить умножением на дробь обратной данной, в данном случае на .Следовательно,

Освобождаясь от знаменателя в правой части, получаем:

или

Подставив значение из (3) в формулу находим, что

Поскольку по условиям задачи , получаем ответ:

или

Решение систем уравнений преподносит и неожиданности. К примеру:

8.Дано:	Известно, что:

 

Проанализировав формулы, приходим к выводу, что неизвестных величин три - Перед нами система из двух уравнений с тремя неизвестными. В математики доказано: сколько неизвестных, столько и уравнений должно быть, чтобы найти эти неизвестные. Однако, выразив, к примеру, из (2) или после смены местами левой и правой частей и подставив значение в (1), получим:

. Поскольку величина сокращается, имеем: .

Таким образом, решение в общем виде может привести к сокращению неизвестных величин, которые не даны в условии задачи.

Но нет ли здесь противоречий с математикой? Никаких противоречий нет. Если посмотреть на уравнения

и , то можно увидеть, что в правых частях присутствует дробь . То есть и . Неизвестной величиной выступает именно эта дробь. Обозначив , получаем

и

, то есть систему двух уравнений с двумя неизвестными и .

Решение - это вывод формулы . Но в отличие от нашей задачи, когда использовались две производные формулы, в курсе физики седьмого класса она выводится из 4-х основных формул.

и .

При известных величинах неизвестными здесь оказываются величины (пять, но теперь мы знаем, что их четыре из-за «хитрой» дроби ). Если рассматривать четыре формулы как систему уравнений относительно этих неизвестных величин, то можно начинать решение с выражения любой неизвестной величины из любого уравнения. То есть, решение задачи 8 у нас началось с производной формулы которая получается в результате подстановки значения из в , но могло начаться и с выражения из или другим способом. Однако лучше подставить значение из в , а значение из в , потому что в результате сразу значительно уменьшается число уравнений (и неизвестных величин). Поскольку во многих задачах число исходных формул, то есть с точки зрения математики, число уравнений больше двух, то нужно в первую очередь поискать преобразования, которые ведут к такому уменьшению количества формул (уравнений).

Иногда это достигается достаточно просто. Рассмотрим задачу.

9.Дано:	Известно что:

 

Следует обратить внимание, что формулы, которые мы видим, в таблице формул нет. Данные формулы – результат записи условий конкретной задачи с их – формул – помощью. Как это делается, изучается на уроках физики. Мы же рассматриваем только математическую сторону решения физических задач.

Итак, неизвестными величинами в этой системе из четырёх уравнений являются искомая , а также , , , , то есть пять величин. Снова остаётся надеяться, что две величины входят в состав дроби, которая сократится. Если бы это было не так, то для решения задачи пришлось искать пятое уравнение.

Сразу видно, что для уменьшения числа уравнений нужно приравнять правые части (1)-(2) и (3)-(4), поскольку левые их части равны. Получаем два равносильных двум первоначальным парам уравнений.

 

 

В результате мы освободились от двух неизвестных и , осталось три неизвестных , и , которые мы можем искать с помощью способа подстановки. Но уравнения (5) и (6) однородны: в левой части уравнений присутствует дробь , а в правой . Если мы поделим друг на друга левые и правые части уравнений, то получим равносильное уравнение, а указанные дроби сократятся. Действительно:

 

Или, поскольку поделить на дробь – это умножить на дробь обратную данной,

После сокращения имеем: В уравнении (8) осталась только одна неизвестная искомая величина, которая легко находится, если использовать основное свойство пропорции.

Искомая величина входит в состав многочлена, и после нахождения этого многочлена легко выражается или

Вообще же, если есть два уравнения, то равносильное им уравнение можно получить не только делением частей уравнений друг на друга, но и умножением, и сложением (вычитанием). Действительно, если то и , , и .

Уже ясно, что не существует раз и навсегда данных алгоритмов, которые позволяли бы единственным способом вести математические преобразования при решении задач. Почти каждая из задач требует размышлений не только со стороны физики – во время представления условий задачи в виде формул, но и со стороны математики – во время поиска оптимального, наиболее простого пути нахождения неизвестных величин из полученных формул. Рассмотрим ещё одну задачу. В ней уже специально не прописаны знаки умножения, как это всегда и делается при решении задач.

10.Дано:	Известно, что:

 

Можно считать, что у нас имеются шесть уравнений. Неизвестными величинами выступают: искомая , а также , , , , , , , . Даже если знать, что величина - это физическая константа, значение которой находится в справочнике, всё равно остаётся 8 неизвестных величин. Конечно, можно начать решение способом подстановки, в надежде, что две неизвестные величины входят в состав дробей и сократятся, но лучше внимательнее присмотреться к уравнениям. Из (6) мы сразу можем найти .

Если в (5) вынести в левой части за скобки , а затем поделить на обе части, то получим:

 

поскольку Из мы можем найти , поскольку все величины, – в том числе и , – известны.

Таким образом, у нас осталось четыре уравнения:

Неизвестных в этих уравнениях пять - , , , , .

Поскольку в (4) есть отношение величин , которое мы можем получить, поделив левые части (1) и (2) друг на друга, сделаем это.

Освободившись от «двухэтажности», умножив на дробь, обратную дроби в знаменателе правой части, получим:

Или после сокращений в правой части:

Таким образом, из уравнений (1) и (2) мы получили равносильное им уравнение (7). Из него, умножив левую и правую части на , чтобы сократить получаем: Теперь мы можем приравнять правые части (4) и

Это равносильное уравнение уравнениям (4) и Теперь мы свели систему уравнений к двум уравнениям – (3) и (8). Подставив значение из (3) в (8) получим:

Это уравнение равносильно всем шести уравнениям. В нём одна неизвестная искомая величина , которую нетрудно найти. Учитывая, что (9) – пропорция, воспользуемся основным её свойством. Тогда

Умножив в левой части одночлен на многочлен , получаем:

Перенеся сомножители с в левую часть, а одночлен без неизвестной величины в правую, имеем:

Вынеся в левой части за скобки, приходим к уравнению Отсюда, поделив на сомножитель при обе части, решаем нашу задачу:

Эта задача, кроме всего прочего, показывает, насколько важно быть внимательным, ведя преобразования. Достаточно в одном месте перепутать величины и , и , и , и или и , как задача никогда не будет решена.