Комментарий. Рассмотрим для определённости банаховы пространства. Если оператор определён не на всём банаховом пространстве 
, а на линейном многообразии 
, то можно ли его продолжить на всё пространство, то есть можно ли построить новый оператор, совпадающий со старым на многообразии и сохраняющий какие-то его свойства на всём банаховом пространстве ? Для линейных операторов имеет место
Теорема. Пусть 
непрерывный линейный оператор, заданный на всюду плотном линейном многообразии банахова пространства , где 
банаховы пространства. Тогда существует непрерывный линейный оператор 
, причём 
, а нормы этих операторов совпадают, то есть 
.
Пусть 
. Поскольку линейное многообразие 
всюду плотно в пространстве 
, то 
, причём 
(по определению всюду плотного множества). То есть последовательность 
фундаментальна, а тогда 
. Но тогда и последовательность 
фундаментальна, а пространство банахово, то есть полное и поэтому последовательность 
. Положив 
, мы определим некоторый оператор 
.
Однако, линейный непрерывный функционал можно продолжить без изменения нормы, даже если он первоначально задан не на всюду плотном линейном многообразии банахова пространства.
Определение 1. Вещественный функционал 
, заданный на вещественном линейном пространстве 
, называется однородно-выпуклым (полунормой), если 
и 
верно, что 
и 
.
Определение 2. Пусть функционал 
задан на линейном многообразии 
, где 
линейное нормированное пространство. Вещественный функционал 
есть продолжение функционала , если 
.
Теорема 1 (Принцип продолжения Хана 
Банаха). Пусть линейный непрерывный функционал задан на линейном многообразии , где линейное нормированное пространство, причём на линейном нормированном пространстве задан однородно-выпуклый функционал 
. Тогда функционал можно продолжить на всё пространство , причём для продолжения выполнено, что 
.
Пусть 
. Для любого действительного 
рассмотрим множество 
.
1. Покажем, что это множество есть линейное многообразие, причём любой элемент из него имеет однозначное представление.
Пусть для любого действительного существует элемент 
, имеющий два представления 
и 
. Если 
, то и 
. Если 
, то 
, то есть 
. Но 
, то есть и 
, а, следовательно, и левая часть принадлежит 
, но 
. Очевидно, что есть линейное многообразие, так как 
имеем 
.
2. Сформулируем требования, которым должен удовлетворять функционал , чтобы его продолжение удовлетворяло неравенству 
. Пусть каким 
либо образом удалось получить продолжение функционала 
на 
, причём так, что выполняются условия теоремы:
1. 
выполнено 
и 2. 
выполнено 
. Тогда 
можно записать, что 
(
значение функционала в точке 
, а 
). Таким образом, любой линейный функционал, продолжаемый с линейного многообразия 
на линейное многообразие 
должен иметь вид 
, где 
константа. Но для того, чтобы сохранялись свойства, надо показать, что 
. Рассмотрим два случая.
1) Пусть 
. Разделив на , получим 
. Тогда в силу линейности функционала 
, 
, а из первого свойства полунормы 
, то есть 
.Так как 
произвольное, то 
произвольный элемент из 
. Обозначив его через 
, сразу получим 
.
2) Пусть 
. Разделив неравенство 
на 
, получим 
. Обозначим 
. Теперь 
, то есть 
. Итак, если мы хотим, чтобы продолжение удовлетворяло неравенству 
, нужно показать, что 
константу С, определяющую продолжение, всегда можно выбрать так: 
.
Рассмотрим 
соотношение. Так как это условие выполняется, в том числе и для супремума и инфинума, то. Таким образом, константу С, удовлетворяющую условию теоремы, следует выбрать так:.
1. Опишем завершение доказательства. Если 
сепарабельное банахово пространство, то в нём существует счётное всюду плотное множество 
. Матиндукцией осуществляем продолжение, последовательно присоединяя к 
те элементы, которых там нет. В результате мы получим продолжение функционала на всюду плотное линейное многообразие 
. Дальше, как указано в комментарии, продолжение функционала осуществляется по непрерывности: 
, причём все 
, 
, 
. Если пространство не сепарабельно, но банахово, то доказательство завершается методом трансфинитной индукции, обобщающим метод математической индукции на несчётные множества. 
Примерно в этом месте в основном и заканчивается ликбез и начинается то, что математики называют функциональным анализом.
КУЛЬТУРНЫЙ МИНИМУМ.
- Что такое линейный оператор? Примеры.
- Что такое ограниченный линейный оператор? Понятие нормы.
- Какой оператор называется непрерывным в точке,на D(A)? Все определения.
- Принцип открытости отображений Банаха. Идея доказательства.
- Что такое равномерная и поточечная (сильная)сходимость последовательности НЛО
к оператору 
? - Какой оператор называется сжимающим? Что такоенеподвижная точка оператора?
- Какой оператор называется обратимым,непрерывно обратимым? Что такое ядро и образ оператора? Какой оператор называется вырожденным?
- Какая задача называется корректной по Адамару?
- Какой оператор называется замкнутым? Теорема о пришельцах.
- Что такое график линейного оператора?
- Какой оператор называется компактным?
- Какой операторназывают сопряженным к оператору
? Какие операторыназывают самосопряжёнными и нормальными?
ВОПРОСЫ.
1. Доказать, что 
2. Доказать, что оператор дифференцирования не ограничен в пространствах 
и ограничен в пространствах 
.
3. Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как непрерывного в нуле.
4. Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как ограниченного.
5. Доказать, что замыкание образа окрестности нуля в пространстве 
содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве 
.
6. Доказать, что образ окрестности нуля в пространстве содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве .
7. Доказать принцип открытости отображений Банаха.
8. Доказать, что пространство 
есть нормированное пространство с нормой 
.
9. Доказать, что пространство 
банахово в смысле равномерной сходимости.
10. Доказать, что пространство банахово в смысле поточечной сходимости.
11. Доказать принцип равномерной ограниченности Банаха 
Штейнгауза.
12. Доказать принцип сжимающих отображений Банаха.
13. Доказать теорему о линейности обратного оператора.
14. Критерий обратимости линейного оператора, как невырожденного. Контрпример.
15. Критерий существования и непрерывности обратного оператора.
16. Доказать теорему Банаха о гомеоморфизме.
17. Доказать теорему Банаха о замкнутом графике.
18. Доказать критерий замкнутости линейного оператора.
19. Доказать, что компактный оператор 
всегда ограничен.
20. Теорема о коразмерности ядра ненулевого непрерывного функционала 
.
21. Теорема о связи непрерывности функционала и замкнутости его ядра.
22. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала.
23. Доказать принцип продолжения Хана 
Банаха.
ЗАДАЧИ.
1. Линейный функционал в 
в точках (1,2) и (3,4) равен 5 и 6 соответственно. Найти его значение в точке (7,8) и норму.
2. Найти норму преобразования 
.
3. Найти норму преобразования 
.
4. Найти норму преобразования 
.
5. Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве 
6. Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве 
.
7. Является ли сжимающим отображение 
на отрезке 
?
8. Является ли отображение 
сжимающим в 
?
9. При каких 
оператор Фредгольма 
является сжимающим при действии 
;
10. При каких оператор Фредгольма является сжимающим при действии 
11. При каких оператор Вольтерра 
является сжимающим при действии .
12. Показать, что оператор интегрирования на паре пространств 
замкнут.
13. При каких оператор Вольтерра является сжимающим при действии 
.
14. Показать замкнутость оператора дифференцирования при действии 
.
15. Существует ли оператор, обратный к оператору дифференцирования?
16. Показать, что единичный оператор 
ограничен, но не компактен.
17. Найти оператор, сопряженный к оператору Фредгольма.
18. Найти оператор, сопряженный к оператору 
.
