Замкнутость линейных операторов

Определение 1. Линейный оператор А, действующий из банахова пространства в банахово пространство , называется замкнутым, если для любой последовательности и такой, что последовательность одновременно с последовательностью ,причём элемент , а элемент .

Комментарий. Из определения следует, что если , то непрерывный линейный оператор всегда замкнут (НЛО всегда ЗЛО: “теорема о пришельцах”). Обратное, вообще говоря, неверно. То есть существуют замкнутые линейные операторы с областью определения, плотной в X, которые не являются непрерывными.

Пример 1. Покажем, что оператор дифференцирования не ограничен, если действует из в .

Пусть оператор дифференцирования действует из в , то есть операторное уравнение имеет вид . Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. Вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве. В пространстве норма .Возьмем из последовательность . Она ограничена в : . Рассмотрим . Тогда . Таким образом, оператор переводит ограниченное множество в неограниченное, то есть этот оператор не является ограниченным. Такая же ситуация с последовательностью . В норма , а . Тогда , то есть оператор дифференцирования не ограничен, то есть не является непрерывным. Это значит, что прямая задача некорректна на данной паре пространств .

Но если в пространстве исходных данных выбрать более сильную норму, то ситуация изменится.

Рассмотрим пространство как пространство , а пространство как пространство . Тогда Теперь и задача дифференцирования стала корректной, но на паре пространств .

На паре пространств оператор дифференцирования является замкнутым, если область его определения есть . Действительно, пусть последовательность в , . Тогда последовательности и сходятся равномерно на сегменте и работает теорема о почленном дифференцировании последовательности функций. Отсюда , то есть функция принадлежит области определения оператора и . Но это и означает замкнутость оператора .

Комментарий. Заметим, что хотя на паре пространств прямая задача дифференцирования корректна, обратная не корректна, так как оператор является вырожденным. Его ядро нетривиально и состоит из функций . Чтобы найти , нужно для любой функции решить уравнение . Но первообразная непрерывной функции определяется с точностью до постоянной - элемента из оператора . Поэтому обратный оператор не существует. Для того чтобы он существовал, то есть задача стала корректной, надо поставить задачу Коши. Определим, например, оператор на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условию . Решение этой задачи Коши есть , тогда .

Определение 2. Прямым произведением линейных пространств и называют множество всех упорядоченных пар , , причём . произвольное число.

Комментарий. Нетрудно видеть, что линейное пространство. Если и нормированные пространства, то нормированное пространство с нормой .

Определение 3. Пусть оператор действует из банахова пространства в банахово пространство . Графиком оператора называется множество пар , то есть .

Определение 4. Пусть линейное многообразие пространства . График оператора замкнут, если из того, что следует, что , а .

Таким образом, линейный оператор , действующий из в банахово пространство , замкнут, если его график есть замкнутое линейное подпространство пространства .

Теорема1. Пусть , где А – замкнутый линейный оператор, имеющий обратный оператор . Тогда также является замкнутым.

График оператора может быть получен из графика оператора А путем ''перестановки" точек: это одни и те же точки.

Пример (продолжение). Посмотрим теперь на оператор дифференцирования как на обратный к оператору интегрирования , заданному на паре пространств . Равномерно сходящуюся последовательность функций всегда можно почленно интегрировать, то есть и оператор интегрирования непрерывен. Тогда по “теореме о пришельцах” он замкнут. Обратным к нему является оператор дифференцирования, который замкнут согласнотеореме1.

Комментарий. Почти очевидно, что банахово пространство, если и только если и банаховы.Если , то НЛО всегда ЗЛО. Когда верно обратное?

Теорема2. (теорема Банаха о замкнутом графике). Пусть , где линейный оператор , отображающий всё банахово пространство на всё банахово пространство , имеет замкнутый график. Тогда - линейный непрерывный оператор.

1. Покажем, что есть подпространство . Пусть и . Тогда их линейная комбинация Поскольку оператор А – ЗЛО по условию, то замкнут в , то есть это подпространство.

2. На подпространстве (замкнутое подпространство банахова пространства само является банаховым пространством)

рассмотрим оператор проецирования , действующий по правилу . Это линейный оператор, так как Таким образом, оператор биективно отображает банахово пространство на банахово пространство . Покажем, что он непрерывен: . Тогда по теореме Банаха о гомеоморфизме существует непрерывный линейный обратный оператор : то есть . Тогда линейный непрерывный оператор.

Комментарий. Для оператора , отображающего всё банахово пространство на всё банахово пространство , понятия замкнутости и непрерывности совпадают. Выясним, при каких условиях эти понятия совпадают, если .

Теорема3(Критерий замкнутости линейного оператора) Пусть , где пространства и банаховы.Линейный непрерывный оператор А замкнут, если и только если множество замкнуто.

Необходимость. Пусть оператор НЛО и множество замкнуто. Покажем, что замкнут. Рассмотрим последовательность . Так как множество замкнуто, , а из того, что оператор непрерывен, следует, что , что и означает замкнутость оператора .

Достаточность. Пусть оператор НЛО и замкнут. Покажем, что множество замкнуто. Пусть , , а - предельная точка . Тогда , то есть последовательность фундаментальна. Так как пространство банахово, то последовательность , а из замкнутости оператора следует, что .