Определение. Линейный оператор 
, отображающий банахово пространство 
в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если каждое ограниченное множество он переводит в предкомпактное.
Комментарий. Напомним, что множество 
метрического пространства 
компактно, если из любого бесконечного его подмножества можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу из 
, и предкомпактно, если замыкание 
компактно. Если линейный оператор 
компактен, то он переводит любую ограниченную последовательность 
в компактную последовательность 
, то есть из любой подпоследовательности последовательности 
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактность и предкомпактность 
это прежде всего свойства пространств. Суть компактности 
в исчерпываемости некого бесконечномерного пространства конечномерным приближением с любой наперед заданной точностью. Компактный оператор наследует свойства конечномерного оператора в том смысле, что всегда может быть приближен им.
Теорема1. Компактный оператор 
всегда ограничен.
. Пустькомпактный оператор 
не ограничен. Тогда найдется последовательность 
, такая, что 
|. Но тогда из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что 
вполне непрерывный оператор. 
Комментарий. Не любой непрерывный линейный оператор вполне непрерывен.Рассмотрим, например, единичный оператор 
. Он, очевидно, ограничен, но не компактен. Покажем это.
В пространстве 
существует бесконечная ортонормированная система (ОНС) 
, такая, что 
. Ясно, что последовательность 
лежит на сфере 
, то есть она ограничена, но из неё нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как 
. То есть единичная сфера 
в гильбертовом пространстве– замкнутое и ограниченное множество, но не компакт, а 
. Таким образом, единичный оператор 
не компактен. 
Можно показать, что единичный оператор 
в любом бесконечномерном банаховом пространстве 
не компактен. Это следует из теоремы Рисса о некомпактности единичного шара в бесконечномерном 
- пространстве.
Теорема 2. Если 
– компактный оператор, 
– ограниченный в банаховом пространстве 
, то операторы 
и 
– компактны.
Если множество 
ограничено, то множество 
тоже ограничено. Следовательно, множество 
предкомпактно, а это и означает, что оператор 
компактен. Далее, если 
ограничено, то 
предкомпактно, а тогда в силу непрерывности 
множество 
тоже предкомпактно, то есть оператор 
компактен. 
Пространства функционалов
Определение 1. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве H называется линейный оператор, отображающий H во множество чисел (вещественных или комплексных). Поскольку линейный функционал является оператором, то для него определено понятие непрерывности, нормы и справедливы все свойства операторов.
Определение 2. Ядром линейного функционала f, определенного в H, называется совокупность всех векторов 
,для которых f(x)=0. Ядро функционала f обозначается через 
.
Теорема 1. Если f -- линейный функционал в H, то является подпространством в H.
Покажем, что любая линейная комбинация произвольных двух векторов 
лежит в .Но если 
,то 
, а значит, для любых чисел 
имеем 
.Следовательно, 
.
Теорема 2. Ядро непрерывного линейного функционала замкнуто.
Пусть произвольная последовательность векторов из , 
. Поскольку линейный функционал f непрерывен, то 
, а значит 
.Следовательно, ядро f замкнуто.
Определение 3. Коразмерностью подпространства S называется размерность его ортогонального дополнения 
.
Теорема 3. Коразмерность ядра ненулевого непрерывного функционала f равна единице.
Гильбертово пространство H может быть представлено в виде прямой суммы замкнутого подпространства S и его ортогонального дополнения : 
. Это означает, что для любого вектора найдутся, и притом единственным образом, векторы 
и 
такие, что 
. Поскольку функционал f непрерывен, то его ядро 
замкнуто и, следовательно, все пространство H представляется в виде прямой суммы ядра 
и его ортогонального дополнения 
: 
. Последнее означает, что каждый вектор может быть единственным образом представлен в виде 
, где 
, а 
. С другой стороны, функционал f не равен нулю, а значит 
. Следовательно, ортогональное дополнение к ядру содержит не только нулевой вектор. Пусть и 
. Рассмотрим произвольный вектор 
и положим 
и 
. Тогда, с одной стороны, 
, так как вектор 
является линейной комбинацией векторов и . Но с другой 
так как 
.Следовательно, 
. Поэтому 
и 
. Таким образом, любой вектор из пропорционален вектору 
. Это и означает, что коразмерность ядра равна единице.
Теорема 4. Если ядро функционала замкнуто, то он непрерывен.
Если ядро функционала совпадает со всем пространством, то функционал равен нулю и, очевидно, непрерывен. Если ядро функционала f является замкнутым подпространством, не совпадающим со всем пространством H, то ортогональное дополнение к ядру содержит хоть один ненулевой вектор 
. Произвольным образом выберем последовательность 
. Поскольку , а значит 
для каждого номера n найдутся векторы 
и 
такие, что 
. Далее, каждый из векторов 
представим в виде 
. Поскольку, с одной стороны, 
, а с другой 
. Сумма двух неотрицательных слагаемых в пределе равна нулю, а вектор 
ненулевой, то есть так как 
, то 
, и 
. Следовательно, 
при 
. Значит, линейный функционал f непрерывен в нуле и поэтому непрерывен всюду.
Определение 4. Множество непрерывных линейных функционалов, определенных в гильбертовом пространстве H, называется пространством, сопряженным к H, и обозначается через H*. Очевидно, что H* линейное пространство.
Теорема 5 (Ф. Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала). Пусть H гильбертово пространство. Тогда для всякого непрерывного линейного функционала f на H существует единственный вектор 
такой, что 
, причем 
.
Пусть вектор существует. Скалярное произведение линейно по первому аргументу, поэтому при любом формула определяет линейный функционал на H. Из неравенства Буняковского 
Коши следует, что 
, то есть норма f не превосходит 
, а значит, функционал f непрерывен. Однако, 
и, следовательно, 
. Покажем теперь, что вектор существует и единственен. Существование. Поскольку функционал f непрерывен, то его ядро замкнуто и все пространство H представляется в виде: . Стало быть 
существует и единственно представление , где , а . Если 
, то 
, 
и, положив 
сразу получим 
. Если 
,то 
и ортогональное дополнение к ядру 
имеет размерность 1. Пусть вектор 
такой, что для любого вектора найдется число 
такое, что 
, а значит, для любого вектора найдутся вектор и число такие, что 
. Стало быть, имеем 
. Тогда, учитывая, что 
, а 
, получим 
Обозначив 
, сразу получим 
. Единственность вектора 
. 
Допустим, что нашлось два вектора 
Тогда для всех имеем 
. Полагая в последнем равенстве 
, получим 
, а значит 
.
Комментарий. Из теоремы Рисса следует, что правило, которое сопоставляет вектору непрерывный линейный функционал f по формуле определяет линейный изоморфизм векторных пространств H и H*. Следовательно, H и H* ”с точностью до обозначений” являются одним и тем же пространством.
Сопряжённые операторы
Комментарий. Пусть 
непрерывный линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 
. Зафиксировав 
, рассмотрим скалярное произведение 
как функционал относительно переменной 
. Оператор 
линеен, то есть функционал линеен по переменной 
и ограничен, так как 
. По теореме Рисса о виде непрерывного линейного функционала, заданного на 
пространстве, имеет место равенство 
. Здесь элемент 
однозначно определен элементом 
и оператором 
, то есть определяет некий оператор 
как 
.
Определение 1. Оператор 
называют сопряженным к оператору 
. Другими словами, оператор 
называется сопряжённым к 
, если 
скалярное произведение 
. Оператор 
называется самосопряжённым, если 
, унитарным, если 
, и нормальным, если 
.
Рассмотрим сопряженноек гильбертову пространству 
пространство 
непрерывных линейных функционалов, заданных на гильбертовом пространстве 
.
Определение 3. Последовательность 
в гильбертовом пространстве 
называется слабо сходящейсяк элементу 
, если 
, то есть 
.
Комментарий. 1. Значение функционала 
в точке 
обозначается как скалярное произведение 
. Тогда сопряжённый оператор можно определить, как 
. Но это просто обозначение, маскирующее отсутствие в 
- пространствах скалярного произведения. Даже в конечномерном случае, когда 
имеет смысл скалярного произведения, вектор 
контравариантен, а вектор 
- это вектор коэффициентов преобразований, он ковариантен. Эти векторы находятся в разных пространствах и по-разному преобразуются при смене системы координат.
2.Напомним, что сходимость по норме пространства носителей 
это обычная сходимость, когда 
, то есть 
. Её называют сильной. Если носителем является пространство 
, то такая сходимость называется равномерной сходимостью. В пространстве непрерывных линейных операторов 
сходимость 
всегда называется равномерной сходимостью. Если же 
, то такая сходимость в пространстве 
называется поточечной или сильной. Используя понятие сопряжённого пространства, в пространстве носителей можно ввести и другой тип сходимости, то есть другую топологию, а именно, слабую сходимость. Но это, по сути, поточечная сходимость. Сильная сходимость влечёт слабую, так как 
, и при 
, то есть сильно, 
, то есть слабо. Обратное, вообще говоря, неверно. Пусть 
- базис в 
- пространстве и функционал 
. Из теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве, 
. Ясно, что последовательность 
не стремится к нулю, она даже не фундаментальна, так как 
. Но по свойству коэффициентов Фурье последовательность 
, то есть слабо.
Пример 1. Рассмотрим оператор Фредгольма 
, где функция 
, то есть ядро оператора 
удовлетворяет условию Гильберта-Шмидта 
. Тогда 
.
Но с другой стороны,
, то есть 
.
Итак, оператор 
также является оператором Фредгольма с ядром 
. Если 
,то ядро 
называется симметрическим. В этом случае, при 
, интегральный оператор является самосопряженным. Если ядро интегрального оператора не симметрическое, то оператор не самосопряжён.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве 
оператор 
, то есть 
, причём 
. По определению 
, то есть 
. Поменяв местами индексы, сразу получим, что 
, то есть переход к сопряженному оператору в действительном 
-мерном пространстве означает транспонирование матрицы этого оператора.
Пример 3. Показать, что если в гильбертовом пространстве H последовательность xn слабо сходится к x и 
, то последовательность xn сходится сильно.
В силу непрерывности скалярного произведения 
то есть 
, что и означает сходимость по норме, то есть сильную сходимость.
