Определение линейного оператора

IV. Пространства операторов

Определение линейного оператора

Пусть X и Y –нормированные пространства, оба вещественные или оба комплексные или линейные топологические пространства.

Определение 1. Линейным оператором, действующим из пространства X в пространство Y называется отображение или или (если ,где и пространства функций), удовлетворяющее условию , где .

Пример 1. Пусть по правилу , то есть оператор I переводит каждый вектор пространства X в себя. Ясно, что . Это единичный оператор. Соответственно, нулевой оператор переводит каждый вектор пространства в нулевой вектор пространства .

Комментарий. Единичный оператор иногда обозначают буквой . Это те, кто считает, что слово единица пишется через “E”. Символ 0 теперь может означать либо число нуль, либо нулевой вектор пространства , либо нулевой вектор пространства , либо нулевой оператор, действующий из пространства в пространство .

Пример 2. Пусть конечномерные эвклидовы пространства, базис в пространстве а базис в пространстве . Тогда верно, что . Оператор A линеен, то есть . Но каждый из векторов лежит в пространстве и поэтому может быть разложен по базису : . Тогда . Совокупность чисел называется матрицей оператора A. Совокупность чисел называется матрицей оператора A. То есть каждому оператору соответствует некоторая матрица и наоборот, каждой матрице соответствует некоторый линейный оператор A. Поскольку векторы линейно независимы, то коэффициенты при векторе в левой и правой частях последней формулы должны совпадать, то есть , или .

Определение 2. Оператор А ограничен, если для любых x Î X, справедлива оценка , где с – постоянная. Точная нижняя грань всех таких констант с на называется нормой опе ратора А и обозначается .

Комментарий. По определению, , то есть норма во первых, одна из верхних граней, а во вторых , что означает несдвигаемость верхней грани.

Теорема 1. Обозначим , , . Покажем, что . Так как , то . Тогда . С другой стороны из несдвигаемости верхней грани следует, что . Рассмотрим элемент . Тогда для него . Но норма , поэтому . В силу произвольности , сразу получаем . Таким образом . Но одновременно , то есть .

Покажем теперь, что выполняются и остальные равенства. Для этого докажем, что . Первое неравенство очевидно, поскольку в обеих его частях супремум берется от одной и той же величины . Второе неравенство следует из того, что для любого .

Третье неравенство следует из того, что для любого и имеем .

Комментарий. Для числовых функций линейная функция всегда ограничена. В конечномерных пространствах любой линейный оператор является ограниченным. Для линейного оператора в бесконечномерных пространствах это, вообще говоря, не так.

Пример 3. Оператор дифференцирования. Рассмотрим операторное уравнение в пространствах . Пусть оператор дифференцирования действует из в , то естьоператор . Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную. В пространстве норма .Достаточно указать один элемент пространства, для которого ограниченность не имеет места. Возьмем из последовательность х_n(t) = tⁿ. Она ограничена в : . Рассмотрим = = . Тогда норма . Таким образом, оператор переводит ограниченное множество в неограниченное, то есть этот оператор не является ограниченным. Такая же ситуация с последовательностью . В норма , а . Тогда при тоже стремится к бесконечности, то есть оператор дифференцирования А неограничен, то есть не является непрерывным. Но если в пространстве исходных данных Х выбрать более сильную норму, то ситуация изменится. Рассмотрим пространство Х как пространство а пространство У как пространство С[a,b]. Тогда Теперь

Пример. Линейный функционал в в точках (1,2) и (3,4) равен 5 и 6 соответственно. Найти его значение в точке (7,8) и норму.

Пример. Значение линейного функционала в в точке (1,1) равно , а его норма равна . Найти его значение в точке (7,8). Линейный функционал, заданный на плоскости, имеет вид , то есть это плоскость, проходящая через начало координат. Его норма – это максимальное значение этой функции на единичном шаре в . Таким образом, имеем симметрическую СЛАУ

Пример. Значение линейного функционала в в точке (1,1) равно , а его норма равна . Найти его значение в точке (7,8).

Комментарий. Из геометрического смысла понятия нормы видно, что общий вид линейного функционала в пространствах задаётся формулой , где . Нормы же их определяются выражениями .

Пример. Рассмотрим преобразование двумерного пространства в двумерное пространство оператором , причём матрица линейного оператора невырождена и имеет вид .

1.Рассмотримпреобразование , где точки , а точки . Тогда , а . Обозначим . Тогда . Запишем это как скалярное произведение и воспользуемся неравенством Буняковского Коши.

. Тогда

, то есть а норма называется эвклидовой.

2. Рассмотримпреобразование .

. Такая норма называется столбиковой.

3. Рассмотримпреобразование .

Тогда

Такая норма называется строчной.

Непрерывность

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. ).

Определение 1. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y называется непрерывным в точке , если . Эквивалентное определение непрерывности оператора в точке:

Определение 2. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y называется непрерывным в точке , если для любой последовательности x_n, n=1, 2, …, , x_n→x₀, последовательность Ax_n сходится к Ax₀.

Определение 3. Оператор A называется непрерывным на D(A), если он непрерывен в каждой точке.

Теорема 1. Линейный оператор А, заданный всюду в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле.

Необходимость. Ясно, что если оператор А непрерывен в каждой точке, то он непрерывен в нуле.

Достаточность. Пусть оператор A непрерывен в нуле и . Тогда , а так как оператор A непрерывен в нуле и линеен, то .

Определение 4. Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Теорема 2. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Необходимость. Пусть оператор А ограничен. Покажем, что он непрерывен. Достаточно доказать непрерывность А в нуле. Рассмотрим любую последовательность , то есть . Тогда , то есть , так как оператор А ограничен, а , то есть , то есть оператор А непрерывен в нуле.

Достаточность. . Допустим, что оператор А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||. Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д. Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||. Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где ||y_n|| = . Следовательно, последовательность y_n 0 при n . Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако ||Аy_n || = || A || = || Ax_n || > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с тем, что Аy_n 0, то есть А – ограничен.

Комментарий. Для линейных операторов понятия ограниченности и непрерывности оператора эквивалентны. Непрерывные линейные операторы будем обозначать аббревиатурой НЛО. Из примера 2 предыдущего пункта следует, что линейный оператор дифференцирования не является непрерывным.

Пример 1. Рассмотрим оператор Фредгольма в пространстве , сопоставляющий функции новую функцию , определенную с помощью формулы , где - некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Оператор A называется интегральным, его линейность очевидна из линейности интеграла. Если ядро непрерывно по совокупности аргументов, то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, оператор A действует в линейном пространстве функций.

1. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен, а, следовательно, непрерывен при действии . Полагаем ядро непрерывным в квадрате , то есть ограниченным, то есть , а норма .Тогда .

2. Покажем, что оператор Фредгольма ограничен и, следовательно, непрерывен в пространстве . По неравенству Коши-Буняковского для каждого фиксированного , полагая, что , можно записать Интегрируем по : . Правая часть неравенства не зависит от и ограничена, поэтому .

Наиболее общее определение непрерывности было дано на языке топологии и это позволяет доказать следующее утверждение:

Теорема 3. (Принцип открытости отображений Банаха): Пусть линейный непрерывный оператор, банаховы пространства. Тогда образ любого открытого множества в пространстве есть открытое множество в пространстве .

Лемма 1. Пусть линейный непрерывный оператор, банаховы пространства. Тогда для любой окрестности нуля в пространстве , замыкание образа этой окрестности содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

Открытая окрестность нуля в пространстве содержит в себе некий открытый шар . Зададим и рассмотрим последовательность . Тогда для любого фиксированного . То есть любой вектор , где - наименьшее из целых чисел, больших . Оператор А сюръективен, то есть . По условию - Банахово пространство, которое по теореме Бэра о категориях есть множество II категории, то есть его нельзя представить в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств, то есть существует номер и открытое множество , такие, что найдётся шар , который будет плотным в открытом множестве . Другими словами, , но множество будет содержаться в замыкании шара , или шар будет содержать в себе некоторое открытое множество . Можно сказать, что замыкание шара имеет непустую открытую внутренность . Так как оператор А непрерывен, то соответствующее множество в пространстве , множество тоже будет открыто, как и множество . С другой стороны, множество и есть окрестность нуля в пространстве , то есть можно считать, что . Тогда сразу .

Лемма 2. Пусть - линейный непрерывный оператор, - банаховы пространства. Тогда для любой окрестности нуля в пространстве , образ этой окрестности содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

. Открытая окрестность нуля в пространстве содержит в себе некий открытый шар . Возьмём произвольную последовательность и обозначим открытые шары радиусов , а - открытые шары радиусов . В силуЛеммы 1 , причём последовательность монотонно убывает. Пусть . Так как , то найдётся точка . Так как , то найдётся точка . И так далее. Таким образом . Пусть . Оценим норму , то есть последовательность фундаментальна в пространстве . Так как пространство полное, то она сходится, то есть существует элемент , такой, что . Тогда, в силу соотношения имеем и . Таким образом, мы фактически показали, что образ любой окрестности нуля в пространстве , содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве , то есть .

Теперь легко доказатьпринцип открытости отображений Банаха.

Нулевой элемент пространства - такой же элемент пространства , как и все остальные. То есть если - произвольное открытое множество в пространстве , то . Обозначим через такую окрестность нуля, что её сдвиг на , то есть окажется внутри : . Так как , то . В силу произвольности теорема доказана. .

Комментарий. У непрерывного оператора можно посчитать конечное значение норм входного и выходного элементов, максимальное значение этого отношения на всем множестве определения дает согласованную норму самого этого оператора. Грубо говоря, это максимальный "коэффициент усиления" преобразования. Поскольку норма это число, то множество операторов должно быть замкнуто относительно обычных алгебраических операций. Но будет ли оно пространством, то есть можно ли на этом множестве определить операцию предельного перехода и если да, то будет ли это пространство полным? (Под пространством в функциональном анализе понимают не просто множество с заданным, кроме отношения равенства, каким либо отношением. Это отношение должно допускать операцию предельного перехода.)

Обозначим множество всех непрерывных линейных операторов, действующих из пространства в пространство , через . Очевидно, линейное пространство.

Теорема 4. Пространство есть нормированное пространство с нормой .

. Достаточно проверить для аксиомы нормы.

Определение 5. Последовательность линейных непрерывных операторов сходится равномерно к оператору , если из шара верно, что .

Это обозначают как .

Теорема 5. Если X есть нормированное пространство, a Y банахово, то пространство банахово в смысле равномерной сходимости.

. Надо показать, что существует непрерывный линейный оператор , который является пределом равномерно сходящейся последовательности операторов .

1. Покажем существование непрерывного оператора . Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность . Для любого элемента последовательность фундаментальна, так как и . Пространство Y банахово, то есть найдётся . Таким образом, каждому элементу мы поставили в соответствие единственный элемент , . Оператор линеен, так как линейны операторы .

2. Покажем, что оператор ,являющийся пределом для последовательности операторов , непрерывен. В самом деле, так как последовательность фундаментальна в ,то последовательность норм ограничена, то есть . С другой стороны, . Таким образом, , и, следовательно, оператор является непрерывным. В силу фундаментальности последовательности операторов ,

. Перейдем в данном неравенстве к пределу при . Тогда при условии выполнится . Это значит, что при всех , то есть .

Комментарий. В пространство линейных непрерывных операторов можно ввести и другие типы сходимости. Рассмотрим последовательность операторов ортогонального проецирования в гильбертовом пространстве. Пусть есть некоторый ортонормированный базис в гильбертовом пространстве : , и так далее. Тогдапроизвольный элемент представим в виде ряда Фурье где . Определим оператор проецирования на подпростр а нство , натянутое на первые п элементов базиса, как . Тогда , а . То есть , . Тогда , как остаток сходящегося ряда, где тождественный оператор. То есть , но это какая-то другая сходимость, потому что равномерной сходимости нет. В самом деле, как только , то для любого . Пусть . Тогда , так как не сохраняет , а сохраняет. Это рассуждение подводит нас к следующему определению.

Определение 6. Последовательность операторов называется поточечно (сильно) сходящейся к оператору , если .

Комментарий. Поточечная сходимость означает сходимость в каждой точке пространства. Мы показали, что поточечная (сильная) сходимость последовательности операторов не влечет за собой, вообще говоря, равномерной сходимости этих же операторов. Обратное всегда верно: равномерная сходимость последовательности операторов всегда влечет за собой поточечную. Действительно, .

Будет ли пространство банаховым и в смысле поточечной сходимости? Покажем, что будет.

Теорема 6 (Принцип равномерной ограниченности Банаха Штейнгауза). Пусть банаховы пространства, а последовательность есть последовательность непрерывных линейных операторов, множество значений которых ограничено в любой точке , то есть , где константы, быть может, различающиеся от точки к точке. Тогда числовая последовательность норм этих непрерывных линейных операторов тоже ограничена, то есть верно, что , где константа есть общая константа, то есть речь идёт об равномерной ограниченности.

Покажем сначала, что если , то в замкнутом шаре последовательность ограничена , то есть сразу .

. Пусть последовательность не ограничена ни в каком замкнутом шаре. Тогда она не ограничена и в шаре , равно как и в шаре . Это значит, что существует элемент , на котором, начиная с номера , норма . Но оператор непрерывен, то есть это соотношение выполняется и в некотором замкнутом шаре . Тогда для этого шара последовательность не ограничена и в шаре . То есть существует элемент , на котором, начиная с номера , норма . Снова это неравенство выполняется и в некотором замкнутом шаре . Ясно, что существует точка , которая принадлежит всем шарам при условии, что и в которой . Но это противоречит условию . То есть в замкнутом шаре последовательность ограничена , то есть сразу . Но тогда норма .

Теорема 7. Пусть X и Y банаховы пространства. Тогда пространство банахово в смысле поточечной сходимости.

Рассмотрим фундаментальную последовательность . Если последовательность фундаментальна в каждой точке , а пространство банахово, то она сходится в этой точке, то есть существует , то есть она ограничена, и ограничен, а следовательно, линеен оператор , то есть . Это как раз и означает, что любая поточечно сходящаяся фундаментальная последовательность непрерывных линейных операторов сходится к непрерывному линейному оператору, то естьпространство банахово в смысле поточечной сходимости.

Комментарий. В дальнейшем будем рассматривать банаховы пространств Комментарий. В дальнейшем будем рассматривать банаховы пространс

Определение 7. Пусть – оператор, вообще говоря, нелинейный, , где – п олное метрическое пространство. Оператор называется сжимающим если существует константа q: , такая, что для любых имеет место неравенство .

Комментарий. Всякое сжимающее отображение непрерывно.

Пусть тогда как только , имеем: . Таким образом, оператор непрерывен.

Определение 8. Элемент называется неподвижной точкой оператора , если .

Теорема 7 (Принцип сжимающих отображений Банаха). Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку .