Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. (Другими словами суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий).

Если события А и В несовместны, то А+В – это или событие А, или событие В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.

Событием, противоположным событию А, называется событие, обозначаемое и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий:

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей

этих событий:

.

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 2. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 2

В ящике 4 белых, 5 красных и 6 зеленых шаров. Шары перемешивают и наудачу извлекают один шар. Какова вероятность события, состоящего в том, что шар окажется цветным?

Решение

Обозначим:

А - событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется красным,

В - событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется зеленым.

Интересующее нас событие состоит в появлении события A+B. Так как

А и В несовместны, то

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и обозначается P_B(A).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое из них произошло:

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А,

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий раина произведению вероятностей этих событий:

Для вычисления вероятности совместного появления большего числа событий, например, четырех, используют формулу:

Для нескольких независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий .

Пример 3

В ящике 4 белых и 6 черных шаров. После перемешивания наудачу извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара – белые?

Решение

A - событие, заключающееся в том, что 1-й извлеченный шар белый.

В - событие, заключающееся в том, что 2-й извлеченный шар белый.

Тогда АВ - событие, заключающееся в том, что оба извлеченные шара белые:

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равно 0, 92, второй - 0, 95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.

Решение

Обозначим: А - сработает 1-й сигнализатор, В – сработает 2-й сигнализатор. По условию Р(А)=0, 92, Р(В)=0, 95. А+В – срабатывает хотя бы один сигнализатор: