Задача 1. Решить неоднородную систему 
Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её.
= 
Это равносильно такой системе уравнений 
Базисный минор в первых двух столбцах, 3-й столбец соответствует свободной переменной 
, её надо перенести вправо.
теперь надо выразить 
через .
фактически и так уже почти выражено, во 2-м уравнении.
. Подставим теперь эту информацию в 1-е уравнение.
, откуда 
.
Вот эти два выражения ,
как раз и составляют общее решение системы. Задавая любое значение , можно вычислить , и получится конкретная тройка чисел, то есть частное решение.
Общее решение можно записать также в виде такого вектора: 
.
Частные решения, например:
частное решение 
.
частное решение 
.
Ответ. Общее решение .
Задача 2. Решить неоднородную систему 
Решение. Запишем расширенную матрицу системы, впрочем, сразу при этом удобно будет поменять местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы угловой элемент содержал именно число 1.
обнулим всё ниже углового элемента, для этого:
из 2-й строки вычтем 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю, из 4-й 1-ю, домноженную на 4.
теперь можно поменять местами 2 и 3 строки, а также домножить на 
три последних уравнения (там почти везде были знаки минус)
затем из 4-й строки вычитаем 2-ю, чтобы продолжить стандартную процедуру метода Гаусса, потом видим что 3-я и 4-я стали одинаковы, тогда из 4-й вычитаем 3-ю. Получается, что 4-е уравнение 0 = 0.
Итак, осталось 3 уравнения, базисный минор легко заметить в первых трёх столбцах (там треугольная структура матрицы, и этот определитель явно отличен от 0). 4-й столбец не входит в базисный минор, то есть 4-я переменная свободная, т.е. когда будем записывать систему, переносим её через знак равенства во всех уравнениях.
Из последнего уравнения 
, подставляя это выражение во 2-е уравнение, выразим . 
= 
,
. Далее из 1-го уравнения:
= 
,
. Итак, общее решение:
, , .
Можно записать в виде вектора: 
.
Если задать, например, 
получим частное решение: 
.
Ответ. Общее решение: .
Задача 3. Решить неоднородную систему 
Решение. Запишем расширенную матрицу, вычтем из 2-й строки 1-ю.
Здесь всего две строки, так что метод Гаусса проводится достаточно коротко.
Видим, что базисный минор можно выбрать в первых двух столбцах. Получается, что 3-я переменная свободная. Перепишем снова в виде системы, а не матрицы.
переносим вправо: 
Выражаем , а затем поднимаемся в 1-е уравнение и 
,через константы и . Впрочем, фактически и так уже выражено:
. Подставим это выражение в 1-е уравнение
, тогда 
общее решение симстемы: 
Также записывается в виде вектора: 
.
Задавая какое-либо значение , всякий раз можем вычислить остальные переменные, и получить тройку чисел. Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2)... их бесконечно много.
Ответ. Общее решение .
Однородные системы.
Задача 4. Решить однородную систему:
Решение.
Видим, что отличие от предыдущей задачи в том, что справа нулевые константы. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:
Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.
Итак, получили систему 
базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что свободная переменная, переносим её вправо: 
. Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.
Из 2-го: 
, а подставляя в 1-е, получим
, т.е. 
.
Общее решение системы: 
.
Также записывается в виде вектора: 
.
Отличие от прошлой задачи в том, что на всех местах, где там были константы, здесь 0. Все переменные преобразовывались точно так же.
Частные решения здесь отличаются тем, что задавая в k раз больше, мы и все остальные получим тоже в k раз больше:
, 
, 
, 
и так далее.
То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.
Если для неоднородной системы представить эти тройки чисел как точки в пространстве, то там они образовывали прямую,не проходящую через начало координат, а для однородной системы - проходящую через начало координат. Поэтому разумно выбрать для этой прямой всего 1 вектор, который задаёт её. Это как раз и есть ФСР (фундаментальная система решений). ФСР .
Ответ. Общее решение , ФСР .
Задача 5. Решить однородную систему 
.
Решение. Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:
Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда: 
Из 2-го уравнения 
, тогда 
, а значит 
.
Общее решение: , . В виде вектора: 
.
Присвоим 
, получим остальные неизвестные.
ФСР состоит всего из одного вектора: 
. Все остальные решения пропорциональны этому.
Если бы, например, присвоили 
, получили бы 
. Это потому, что всего одна свободная переменная.
Ответ. Общее решение: , ФСР .
Задача 6. Решить однородную систему 
Решение. Запишем основную матрицу, преобразуем её. 
снова представим в виде системы: 
базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как 
, поэтому 
. Перенесём их через знак равенства.
здесь 
уже выражено: 
, подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и 
.
, .
Общее решение: , .
В виде вектора: 
.
Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как число 1 в них на разных местах.
, получим 
, получим 
.
Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это 
частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.
Ответ. Общее решение: .
ФСР это множество из 2 векторов: { , }.
Задача 7. Решить однородную систему, найти ФСР. 
Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.
Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. 
.
Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений. 
перенесём свободные неизвестные вправо:
из 2 уравнения 
, подставим это в 1-е,
будет 
, то есть 
.
Общее решение: , .
В виде вектора: 
Построим ФСР из 2 векторов.
, получим 
, получим 
.
Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.
Ответ. Общее решение: , .
ФСР из 2 векторов: 
.
Задача 8. Решить однородную систему, найти ФСР.
Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.
Треугольная структура продолжилась до самой последней строки, и не проявилась строка из нулей, то есть ранг равен 3. Здесь всего одна свободная переменная. Развернём обратно эту матрицу, т.е. запишем в виде системы, а затем перенесём свободные переменные вправо.
Из последнего, 
, это подставим во 2-е и получим 
.
Затем это всё в 1-е уравнение, получим 
.
ФСР: один вектор 
.
Ответ. Общее решение: 
. ФСР:
Задача 9. Решить однородную систему, найти ФСР.
Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.
Здесь ранг 2, неизвестных 5, 
.
Переписывая в виде системы, переносим вправо 3 свободных переменных.
Выражаем из 2-го как линейную функцию от 
, а затем с помощью 1-го уравнения, также и .
, 
.
Общее решение: 
.
ФСР из 3 векторов. Для этого задаём поочерёдно 1 какой-либо из свободных переменных, а 0 остальным.
ФСР: 
, 
, 
.
Ответ. Общее решение: .
ФСР: , , .
Домашнее задание.
Решить однородную систему, найти ФСР:
Практика № 9 (7 октября в обеих группах)
Практика № 10
Приложение 1.
Пример одного варианта контрольных работ.
Темы 1-й контрольной:
1. Действия над матрицами.
2. Определители.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы.
Вариант:
1) Умножить матрицы 
2) Найти определитель 
3) Найти обр.матрицу 
4) Найти ранг матрицы 
Темы 2-й контрольной:
5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).
6. Системы уравнений, метод Гаусса
7. Собственные числа и векторы
8. Уравнения прямой и плоскости
Вариант:
5) Векторы 
выражены через 
: 
, 
.
, 
, угол между ними 60 градусов. Найти 
.
6) Решить систему 
7) Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей 
.
8) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,4,2) перпендикулярно вектору (2,1,2).
Темы 3-й контрольной:
9. Предел последовательности
10. Предел функции, с неопределённостью 0/0.
11. Предел функции, 1-й замеч. lim
12. Предел функции, 2-й замеч. lim
Вариант:
9) Вычислить предел 
10) Вычислить предел 
11) Вычислить предел 
12) Вычислить предел 
Темы 4-й контрольной:
13. Производные функции одной переменной.
14. Частные производные для f(x,y), градиент.
15. Уравнение касательной
15. Экстремумы функции на [a,b].
Вариант:
13) Найти производную (какая-нибудь функция f(x)).
14) Найти градиент функции 
в точке 
и производную по направлению 
.
15) Найти уравнение касательной для 
в точке 
и высоту касательной при x=0.
16) Найти экстремумы для 
.
Литература.
[1]. Магазинников Л.И. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.
[2]. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
