Определители, разложение по строке (столбцу).
Задача 1. Найти произведение 
, где
, 
, 
.
Решение. Вычислим 
, сначала умножим первые две матрицы:
= 
. Теперь умножим на третью матрицу.
= 
. Ответ. .
Замечание. Если вычислять 
, то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.
Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2).
Задача 2. Умножение квадратной матрицы порядка 3 на вектор-столбец из 3 координат (параметры произвольные, задаёт группа).
Задача 3. Найти параметр 
, при котором определитель равен 0:
.
Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:
, 
, 
, 
.
Ответ. .
Задача 4. Найти объём тетраэдра, вершины которого
A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4).
Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.
Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.
AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).
= 
, 
.
Ответ. Объём тетраэдра равен 
.
Задача 5. Вычислить определитель 
с помощью разложения по первой строке.
Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на 
=
= 
= 8. Ответ. 8.
Задача 6. Вычислить определитель 
методом Гаусса (приведением к треугольной форме).
Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.
= 
затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.
получили 
= 2. Ответ. 2.
Задача 7(а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы, т.е. приведением к треугольной форме.
Решение. Первый способ.
Разложение по 1-й строке:
Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка.
= 
.
Ответ. 0.
Второй способ. Из 2-й строки вычтем удвоенную 1-ю, а из 4-й утроенную 1-ю.
Здесь мы добиваемся того, чтобы под левым верхним углом были только нули. В 3-й строке слева и так 0, из неё ничего вычитать не надо.
Теперь к 3-й строке прибавим 2-ю, а из 4-й вычтем удвоенную 2-ю. Этим самым мы обнулим элементы ниже 
.
Теперь надо к 4-й строке прибавить 3-ю, и мы получим 0 под элементом 
, этим как раз и завершится процесс приведения к треугольному виду.
Но получилось так, что вся 4 строка состоит из нулей, а тогда определитель равен 0. Итак, получили точно такой же ответ.
Задача 8. Вычислить определитель 
.
Решение. Здесь можно применить старый, давно известный способ, то есть достроить 2 столбца и перемножить по трём параллельным линиям. А можно и преобразования строк. Но для этого удобно, чтобы в левом верхнем углу было число 1. Мы можем поменять местами строки, учтём, что при этом сменится знак.
= 
.
В принципе, можно ещё и поменять местами 2 и 3 строки, чтобы знак снова исчез. 
. А вот теперь уже вычитать из 2-й строки (удвоеннную 1-ю) и из 3-й (утроенную 1-ю).
= 
. Дальше можно и не преобразовывать, а просто разложить по 1 стролбцу, там всего лишь одно число, остальные нули. 
= 24. Ответ. 24.
Задача 9. Вычислить определитель 
.
Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й.
. Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24.
Ответ. 24.
Задача 10. Вычислить определитель 
.
Решение. Можно просто добавить копии 1,2 столбцов и применить старый способ, а можно разложить по 3 строке, где есть всего одно ненулевое число. Сделаем именно так.
= 
= 
= 28.
Ответ. 28.
Задача 11. Вычислить определитель 
.
Решение. Приведём к треугольному виду.
= 
теперь разложим по 1-му столбцу
= 50. Ответ. 50.
