Бесконечно малые величины известны с древнейших времён. Под бесконечно малым подразумевалось, либо некое неделимое, не имеющее частей, но обладающее некой величиной, либо некое неделимое мыслилось как точка, имеющая величину равную нулю[56, 57]. Прежде чем рассматривать бесконечно малую потенциальную бесконечность необходимо кратко рассмотреть понятие нуля.
Если в математике и философии некоторые математики до сих пор раздумывают, является ли бесконечность числом или нет, то понятие нуля ни у кого-либо не вызывает сомнения. Нуль есть число ¾ констатирует любая энциклопедия. «Самая важная цифра есть нуль. Эта была гениальная идея ¾ сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.» ¾ пишет Ван дер Варден[58, c. 77]. «Самое важное число в математике есть нуль… Нуль является единственным числом, обладающей хартией ¾ одной из королевских привилегий. В то время как любое другое число может быть подвергнуто любой из элементарных операций, запрещено делить на нуль, ¾ точно так же, как, например, во многих парламентах может обсуждаться любой предмет, за исключением персоны суверена», ¾ вторит ему Е. Шрёдингер[59, с. 19]. На самом же деле нуль впервые был введён вавилонскими математиками приблизительно после 500г. до н. э. Никамах ставит правило: нуль сложенный с нулём, даёт нуль. Нуль в человеческом понимании это отсутствие чего-либо, отрицание или отсутствие всякого количества и является чистой условностью. Если нет денег, мы говорим: в кармане нуль. Но нуль ещё не число. Нуль есть цифра, указывающая в каком-либо исчислении отсутствие единиц данного разряда. Нуль не отвечает на вопрос: сколько? Он только выражает отрицание и не указывает, сколько единиц в числе. Нуль как число «…символизирует бесконечность, Бесконечное безграничное Бытие, fons et origo2 всех вещей, Брахманду или космическое яйцо, солнечную систему в её совокупности; или же универсальность, космополитизм, преодоление расстояний и препятствий, странствия. Но также и отрицание, объём, ограничение, отсутствие»[60, с. 6]. Средневековые схоласты оставили после себя возражения против признания нуля числом:
- не существует такого числа, от прибавления которого к А получалось бы А, но таков нуль, поэтому нуль не число;
- в области качества нуль ведёт к признанию некоторой величины, непосредственно стоящей за нулём, так как возрастание с нуля даёт противоречие: нуль является отрицанием качества и его началом[61, с. 293].
По мере развития математики нуль постепенно превращается в число, причём в число, имеющее довольно странные свойства: сложение и вычитание с нулём оставляют сумму без изменения; умножение числа на нуль даёт результат равный нуль; при делении любого числа на нуль получаем бесконечность; при делении нуля на нуль получаем абракадабру.
2 - исток и начало (лат).
Несмотря на то, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он имеет весьма определенное содержание в математике и физике конечномерных пространств, а именно:
- отсутствие каких-либо числовых размерных физических объектов в рассматриваемом относительном пространстве (пустое множество);
- начало системы отсчета (например, граница между всеми положительными и отрицательными величинами; граница между жидким и твёрдым состоянием воды);
- тождественность чисел и размерных физических объектов самим себе: А º А, откуда А – А = 0;
- как предел бесконечной прогрессии или неисчислимое в числе: ¥ —1 = 0.
Следуя Р. Курант и Г. Роббинсу, которые считают понятие «бесконечность» не числом, нуль, как противоположность бесконечному, также не является числом, а только символ, цифра, обозначающая отсутствие чего-либо. Он становится числом только в совместной цифровой записи с другими цифрами: 10; 0,1 и др. Нуль как предел бесконечной прогрессии, как и бесконечность, является финитным и относится к понятию потенциальной бесконечности малых чисел:
f¥f—1 = f0f (1.2)
Потенциальная бесконечность бесконечно малых чисел начинается с конечной величины и состоит только из одних конечных величин. Бесконечная последовательность малых натуральных чисел бесконечна, так как за числом n -n следует число n -n -1. Типичным примером бесконечности малых чисел является число 10-40, которое является также потенциальной обратной бесконечностью по отношению к 1.
В настоящее время бесконечно малые широко используются в дифференциальном и интегральном исчислении, хотя их появление в математике вызвало большую дискуссию. Проблемы дифференциального исчисления были связаны с нерешённым до сих пор вопросом, что понимать под бесконечно малым: некую очень малую протяжённость или точку, не имеющую протяжённости[62-65].
Предел числовой последовательности (lim an = a) означает, что некая величина a,
n ® ¥
стремясь к определённому пределу, настолько приближается к этой предельной точке, что, по нашим представлениям, совпадает с ней. На этом принципе построены математические модели дифференциального и интегрального исчисления, заложенные И. Ньютоном и Г. В Лейбницем. На самом же деле lim an ¹ a и между lim an и a лежит онтологическая пропасть. Для удобства расчётов мы можем принять равенство lim an = a, но любой вывод математики, основанный на этом принципе об устройстве онтологического бытия, будет глубоко ошибочен.
Помимо математического понятия бесконечно малая потенциальная бесконечность в философском смысле есть граница бытия и инобытия или внешнего и внутреннего бытия. Согласно А. Ф. Лосеву: «Бесконечность... есть нуль. Нуль есть внешняя сторона бесконечности, а бесконечность ¾ внутреннее его выявление»[62, с. 509].
Суммируя результаты по потенциальной бесконечности, делаем вывод, что существуют два вида потенциальной бесконечности чисел:
- бесконечно большая или внешняя бесконечность ¾ f¥f,
- бесконечно малая или внутренняя бесконечность ¾ f0f
Актуальная бесконечность.
Актуальная бесконечность была известна с древнейших времён. Вплоть до последней четверти Х1Х в. математики руководствовались знаменитым положением Аристотеля: infinitum actu non datur3. Фома Аквинский в «Сумме теологии» отрицает существование количественной актуальной бесконечности: «Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в каком-либо виде множеств. Но виды множеств соответствуют видам чисел, а не один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению»[66, с. 416].
В противовес ему Г. В. Лейбниц уверен в существовании актуальной бесконечности: «Я настолько убеждён в существовании актуальной бесконечности, что не только допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного (как обычно выражаются), а, напротив, считаю, что она повсюду высказывает любовь к нему, дабы нагляднее продемонстрировать любовь творца» [67, т. 3, с. 294]. Следует отметить, что Г. В. Лейбниц ни словом не обмолвился, что актуальная бесконечность состоит из чисел.
Т. Брадвардин в трактате «О континууме» дал следующее определение актуальной бесконечности: «Infinitum cathegorematice et simpliciter est tantum quantum sine fine4[68, с. 148].
В математику понятие трансфинитной бесконечности ввёл Г. Кантор, мотивируя тем, что для всякого беспредельного изменения (ПБ) необходима область изменения, которая сама по себе не может меняться. В работе по философским вопросам теории множеств он писал: «Актуальную бесконечность можно рассматривать в трех главных отношениях: во-первых, поскольку оно имеет место in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante5, и в этом случае оно называется абсолютным; во-вторых, поскольку оно имеет место in concrеtо seu in natura naturata 6, и в этом случае я называю его transfinitum; в третьих, актуальную бесконечность можно рассматривать in abstracto, т. е. поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием в форме актуального бесконечного или, как я назвал это, в форме трансфинитных чисел, или в еще более общей форме трансфинитных порядковых типов» [66, с. 264]. В двух последних отношениях Кантор представляет бесконечность как ограниченную и доступную увеличению. Такая бесконечность родственна конечному. «Под актуальной бесконечностью следует понимать такое количество, которое с одной стороны не изменчиво, а, скорее, фиксировано и определено во всех своих частях, является подлинной константой, а с другой ¾ в то же время превосходит по величине всякую конечную величину того же рода»[66, с. 289]. Из этого высказывания следует, что г. Кантор разделил бесконечное на три категории:
- на бесконечную математическую величину, трансфинитное число или порядковый тип, которое наше мышление может постигнуть как абстракцию;
- это бесконечное существует не только в ноуменальном мире, но и в материальном;
- абсолютную бесконечность, воплощённую в не мировом бытии, т. е. в Боге.
В двух первых категориях он представляет бесконечное родственное конечному.
Затем он пытается построить актуальную бесконечность через потенциальную бесконечность: «Между тем, бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков»[66, с. 263]. Ни логически, ни математически не вытекает существование в потенциальной бесконечности нового вида чисел. Бесконечные числа как раз и образуют предмет исследования от нашего произвола и зависят от нашего предрассудка. Поэтому
3- актуальная бесконечность не дана (лат.).
4 - категорематическая (актуальная) или простейшая бесконечность есть количественно беспредельное множество (лат.) (перевод мой ¾ Е. Ч.).
5 - во внемировом вечном и всемогущем Боге или в творящем начале (лат.)
6 - в конкретном или в сотворенной природе (лат.)
многие выдающиеся математики: Ж. Л. Лагранж, Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Г. Л. Ф. Гельмгольц, А. Пуанкаре и др. не приняли построение актуальной бесконечности при помощи потенциального числового ряда.
Ещё до Г. Кантора учение о бесконечных множествах (гомеомерия) впервые ввёл Анаксагор[69]. Исходя из тезиса «каждый элемент бесконечно делим в своём собственном качестве», он создал гомеомерическую бесконечность:
ww,
где:
w - бесконечное число разнокачественных элементов,
w - бесконечное число качеств единичного элемента.
Гомеомерия есть бесконечность элементов данного типа, содержащих в себе бесконечность частичных элементов, тоже сохраняющих свой собственный тип [69, с. 297].
Если гомеомерическая бесконечность Анаксагора относится не только к количеству, но к качеству элементов, то Г. Кантор попытался сосчитать несчетный количественный континуум пространства чистого качества при помощи счетного пространства чисел. В основе его учения лежат два постулата:
- бесконечное есть бесконечное количество;
- бесконечное количество есть бесконечное множество.
Кроме того, он стремился дать математическое обоснование философского учения о бесконечности. Для этого он ввёл в науку так называемое трансфинитное число w, которое является «пределом, к которому стремятся числа n, если понимать под этим лишь то, что w должно быть первым числом, которое следует за всеми числами n, т. е. которое можно назвать большим, чем любое из чисел n»[66, c. 92]. Единственным «доказательством» существования такого числа есть следующие рассуждения: «Количество чисел n класса (1), которое можно образовать таким образом, бесконечно, и между ними нет вовсе наибольшего числа. Поэтому, как не противоречиво было бы говорить о наибольшем числе класса (1), с другой стороны, нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить (курсив мой ¾ Е. Ч.) себе некоторое новое число ¾ обозначим его w, ¾ которое должно быть выражением того, что нам дана согласно своему закону в своей естественной последовательности вся совокупность (1)... Можно даже вообразить (курсив мой ¾ Е. Ч.) себе новосозданное число w пределом, к которому стремятся числа n, если понимать под этим лишь то, что w должно быть первым целым числом, которое следует за всеми числами n, т. е. которое можно назвать большим, чем любое из чисел n»[66, c. 92].
w = lim {1, 2, 3,..., n,...}.
Это воображение Г. Кантор и др. математики приняли за реальную истинность и построили теорию бесконечных множеств. Вышеприведённая цитата есть не доказательство, а аксиоматическое положение. Это аксиоматическое положение противоречит всему понятию числа и логических законов ¾ существование целого числа w, которое больше всех натуральных чисел, среди которых не существует наибольшего целого числа.
Число w можно трактовать следующим образом. Представим актуальную бесконечность как бездонный мешок, открытый с обеих сторон, в который сыплются действительные числа. В определенный момент, когда мы достигаем какого-то числа n или следующего за ним, конец мешка завязывается и декларируется, что полученное число w есть наибольшее первое число. Свойства этого числа любопытны. Несмотря на то, что один конец мешка завязан, в открытый конец можно неограниченно сыпать числа, не изменяя само число w:
n + w = w
С закрытого же конца начинается новый счет:
w + n = w + n
При достижении n = n образуется опять-таки число w
w + w = 2 w
Процесс образования новых чисел идет до образования числа ww. Г. Кантор далее пишет: «Мы видим, таким образом, что образование новых чисел не имеет конца: следуя обоими принципами порождения, мы получаем все новые и новые числа и числовые ряды, имеющие вполне определенную последовательность» [66, c. 93]. Даже при допущении, что w есть наибольшее число всех действительных чисел, оно все равно (коли оно число) начинает подчиняться правилу потенциальной бесконечности, и чтобы выйти из этого порочного круга Г. Кантор вводит «принцип стеснения или ограничения». Однако какие бы ухищрения ни вводились, если трансфинитное число есть именно число, а не что-либо другое, то оно все равно должно подчиняться правилам потенциальной бесконечности и к любому большому числу (простому, трансфинитному, кардинальному) всегда можно прибавить еще одно число. Поэтому выражение актуальной бесконечности через потенциальную бесконечность невозможно, и канторовские трансфинитные числа есть числа, подчиняющиеся всем правилам пространства чисел, т. е. потенциальной бесконечности и
w ¹ lim {1, 2, 3,..., n,...}.
Почему Г. Кантор, который везде и всюду утверждал, что в основе математики должны лежать непротиворечивость положений и высказываний, взял за основу такую алогичность? Ответ довольно прост. Он был религиозным человеком и находился под влиянием учения Бл. Августина. В книге «О граде Божием» Бл. Августин высказывает следующую мысль о познании Богом чисел: «Итак, неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто даже из самых безрассудных людей скажет это?»[70, с. 596]. И далее: «Поэтому бесконечность числа, хотя бы и не было числа бесконечным числам, не может быть необъемлемой для Того, у Кого нет числа разуму. Всё, что объемлется знанием, ограничивается сознанием познающего; так же точно и всякая бесконечность бывает всяким неизречённым образом ограниченною в Боге, потому что она не необъятна для Его ведения»[70, с. 597]. Эти высказывания Бл. Августина пересилили положение о непротиворечивости, и были положены в основу теории трансфинитных чисел: «Нельзя более энергично требовать, более совершенно обосновывать и защищать трансфинитное, чем это сделано св. Августином. А что в случае бесконечного множества (n) всех конечных чисел n речь идёт не об абсолютно бесконечным, то в этом вряд ли кто-нибудь сомневался. Тем же, что св. Августин утверждает общее интуитивное восприятие множества (n) «quodam ineffabili modo», a parte Dei7, он одновременно признаёт это множество более формальным, чем некое
7 «Некоторым неизречённом образом» со стороны Бога. (лат.)
актуальное бесконечное целое, как некое трансфинитное целое, и мы вынуждены следовать в этом за ним»[66, прим. 19, с. 290].
Знает ли Бог все эти числа это ещё вопрос, т. к. для того чтобы знать необходимо пространство мышления. Существует ли оно у Бога это то же вопрос. Бог творит эти самые числа, и они находятся в его собственном поле. Эти числа движутся, непрерывно возникают и исчезают, взаимодействуют сами с собой по собственному механизму[4], но предела этим числам нет никакого. Никто не вынуждал Г. Кантора идти по пути Бл. Августина, но он предпочёл его непротиворечивые высказывания для существования чисел в Абсолюте, перенести на дискретную почву чисел, где эти высказывания становятся противоречивыми.
Положение Г. Кантора есть типичная логическая мнимость, логический казус, который невозможно опровергнуть. Эти положения привели к логическим парадоксам и антиномиям, т. к. сами являются антиномиями. Числовая последовательность {1, 2, 3,..., n,...}обладает следующими свойствами: «Все члены неограниченной последовательности конечных кардинальных чисел отличны друг от друга. Каждое из этих чисел n больше, чем предшествующее ему, и меньше, чем следующее за ним»[66, с. 181]. Всё-таки число n подчиняется законам чисел. Цитирую далее: «Совокупность всех конечных кардинальных чисел n даёт нам первоочередной пример трансфинитного множества; назовём соответствующее число «алеф-нуль»[66, с. 183]. Совокупность конечных кардинальных чисел даёт трансфинитное или бесконечное число, не подчиняющееся законам чисел. Одним росчерком пера Г. Кантор конечное превратил в бесконечное. Как понять «совокупность конечных кардинальных чисел»?. Совокупность всех кардинальных чисел может быть только в том случае, когда они все построены и являются неподвижными. Неподвижность же кардинальных чисел может быть только для чётных чисел, имеющих неподвижный знак[4]. Весь натуральный ряд чисел имеет положительный знак и движется в пространстве AS, встречаясь с отрицательными числами и единицами, они взаимодействуют друг с другом, и их совокупное количество ежечасно и ежесекундно меняется. Поэтому абстрактное понятие «совокупность конечных кардинальных чисел» есть ошибочная аксиома, которая не несёт в себе никаких ни философских, ни математических, ни физических реалий.
В учении по трансфинитным числам очень важную роль играет понятие «отрезок», который является изначальным орудием, позволяющим проникнуть в самые сложные отношения между элементами упорядоченного множества. Г. Кантор взял на вооружение бесконечную делимость отрезка, получая бесконечное количество всё новых и новых отрезков, при этом непрерывно упорядочивая эти отрезки и неизвестно откуда получая на концах отрезков точки. При построении трансфинитных чисел Г. Кантор пользовался процессом счёта при помощи порядковых типов (ординальных чисел) и кардинальных чисел. Кардинальные числа по Г. Кантору не имеют размерности (качества) и порядка их задания, а ординальные числа имеют качество и упорядоченность. На самом же деле кардинальные числа есть чистые количественные числа, а ординальные числа, полученные делением отрезка и имеющие размерность, есть качественно-количественные числа, которые в корне отличаются по своим свойствам от кардинальных чисел[4]. Их и сравнивать даже нельзя, т. к. они определяют разные пространства. Кроме тог, порядковые числа являются внутренними числами познающего субъекта, который и упорядочивают предметы и их счёт[4]. Настоящее кардинальное число есть единство внешнего считаемого предмета как числа и внутреннего счёта. Уберите внешний ряд считаемых объектов, и нет предмета счёта. Уберите считающего субъекта, и считать некому. Натуральный ряд действительных чисел находится в нашей памяти как уже сосчитанное нечто, как единство внешних и внутренних чисел. Г. Кантор пользовался процессом счёта уже сосчитанного натурального ряда чисел, отображая его отдельные элементы в пространстве мышления и получая новые порядковые числа. При таком подходе следует ещё один оригинальный вывод: количественная или кардинальная бесконечность меньше порядковой или ординальной бесконечности! Нумеруемых объектов больше, нежели считаемых объектов. На самом же деле это не так. Нумерация производится человеком, а количество безразмерных и размерных чисел творится Абсолютом (Господом Богом)! При этом количество и тех и других чисел эквивалентно друг другу, т. к. ¥f º f0.
Самая большая ошибка Г. Кантора заключается в том, что он, беря натуральный ряд чисел как таковой, как совокупность потенциальной бесконечности со всеми её членами, совершенно забыл, что потенциальная бесконечность есть непрерывно изменяющаяся бесконечность, что количество её составляющих (единиц) непрерывно растёт и взять непрерывно изменяющейся ряд чисел целиком совершенно невозможно. Поэтому вся тория множеств, основанная на постулатах и приближениях Г. Кантора не состоятельна.
Поразительное заключается не то, что Г. Кантор очень вольно обращается с потенциально бесконечным рядом, превращая его в актуально бесконечный ряд, каждый может ошибиться. А то, что вся последующая плеяда выдающихся математиков Б. Рассел, А. Н. Уайтхед, Д. Гильберт, О. Брауэр и др., видя эту вопиющую ошибку[78, с. 20], бросились спасать канторовскую теорию множеств. Канторовская теория трансфинитных чисел представляется по Д. Гильберту «наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека»[79, с. 346]. В чём же причина такой патологии? Ответ даёт сам Д. Гильберт: «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор»[79, с. 350]. Действительно рай, когда одним росчерком пера на бумаге или одной только умственной деятельностью можно конечное превратить в бесконечное. Вот бы и нам химикам также, получив одну тонну продукта, при помощи одной только мыслительной деятельности или росчерком пера превратить её в бесконечное количество, и работать дальше не надо! В связи с невозможностью проверить все эти математические измышления на практике, на протяжении всего ХХ века и по сей день это направление в математике живёт и процветает.
Как было показано, трансфинитное число построено на логической антиномии: трансфинитное число есть наибольшее число среди множества чисел, в которых нет наибольшего числа. С точки зрения логических законов эта аксиома имеет знак ±. Если двузначная логика оперирует двумя знаками + и -, то введение дополнительного знака ± к этим двум знакам переводит логику из двузначной в логику трёхзначную (логику Н. А. Васильева) с законом исключённого четвёртого. Вся же современная теория множеств основана на двузначной логике. Если в основе логики лежит антиномия, то в результате логических операций, происходящих в пространстве мышления человека, мы получаем два противоположных истинных ответа по высказыванию:
+(±В) ® +В
-(±В) ® -В
Поэтому высказывания «за» и «против» теории Г. Кантора непререкаемо истины в двузначной логике. Учение Г. Кантора о трансфинитных множествах было подробно исследовано с логических позиций доктором физико-математических наук А. Зенкиным[71-75] и показана его полная несостоятельность. Он насчитал 7 логических ошибок в 10 строчках канторовского перевода потенциальной бесконечности в актуальную бесконечность. Помимо А. А. Зенкина обстоятельная критика учения Г. Кантора дана в работах[76, 77].
Принцип Кантора о том, что «сущность математики в её свободе» был философски обоснован Л. Витгенштейном. В п. 3.02 своего знаменитого «Трактата» он пишет: «Мысль содержит возможность той ситуации, которая мыслится ею. Что мыслимо, то возможно»[81, с. 10]. Стоп! Что мыслимо, то возможно! Вот, где зарыта собака! Вот основополагающий принцип! Принцип чрезвычайно удобен, так как не стесняет математического творчества, по которому можно воображать и творить всё, что угодно. Принцип оправдывает любые построения и любые самые не мыслимые теории, которым ничего не соответствует в реальном мире. Этот принцип не нов. Ещё Д. Юм писал в «Трактате о человеческой природе»: «В метафизике общепринято следующее положение: всё, что ясно представляется в сознании, заключает в себе идею возможности существования, или, другими словами, ничто из того, что мы воображаем, не есть абсолютно невозможное»[15. Т.1. С. 92]. Это высказывание относится к метафизике, следовательно, перенося его на математику, она становится метафизической наукой. В отличие от Б. Рассела, который безоговорочно принял измышления Г. Кантора по трансфинитным числам, Д. Гильберт в знаменитом труде «Основания математики» в мягкой форме указал на противоречивость этого учения[80]. Он попытался найти вместо натурального ряда чисел другую бесконечную область, взятую из области чувственного восприятия или реальной действительности. Но все попытки оказались тщетными. Поэтому он разработал метод формализации логического вывода, в основу которого положены следующие положения:
1) «строго формализовать принципы логического вывода и подготовить, таким образом, систему правил вывода, которая была бы полностью обозримой;
2) для заданной системы аксиом (непротиворечивость которых должна быть установлена) показать, что, исходя из неё и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. никогда не смогут оказаться доказуемым две формулы, одна из которых является отрицанием другой»[80, с. 43].
На протяжении многих веков существовала непротиворечивая аксиома: Для любых двух точек A, B существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек A, B. Однако она оказалась противоречивой и через две точки можно провести не ограниченное количество прямых[4]. Следовательно, вся математика, основанная на понятии непротиворечивости должна очень осторожно относится к «непротиворечивым» аксиомам и высказываниям. Если до Д. Гильберта непротиворечивость какой-либо формулы означает и её выполнимость, то Великий математик постулирует, что «мы вовсе и не обязаны доказывать непротиворечивость путём установления выполнимости»[80, с. 42]. Это и есть «непротиворечивость». Это всё равно, что считать непрерывно строящийся дом построенным, и поселять людей в несуществующие квартиры. Я бы выразил это двумя словами: «непротиворечивая абсурдность». Непрерывно строящаяся бесконечность, взятая как таковая, это завуалированное канторовское трансфинитное число.
В настоящее время теория множеств Г. Кантора считается наивной теорией множеств, оперирующая только положительными действительными числами. Открываем книгу Н. Бурбаки «Теория множеств. Гл. 111, § 6. Бесконечные множества», читаем: «Определение 1. Говорят, что множество бесконечное, если оно не является конечным»[82, с. 221]. Такое определение даёт самая точная наука ¾ математика. Оно сродни известному русскому выражению: «Говорят, что в Москве кур доят». И далее: «А5 (аксиома бесконечности). Существует бесконечное множество». Сразу вопрос: какое бесконечное множество ¾ бесконечно актуальное или бесконечно потенциальное? Кроме того, современная теория множеств дополнительно содержит следующие аксиомы[82-88]:
- создание непрерывного континуума при помощи дискретности (чисел),
- принцип свёртывания,
- аксиома объёмности,
- аксиома выбора.
Кроме этих аксиом математики забывают, что все множества, в том числе и бесконечные, считает человек, отображая внешние предметы, как числа, на своё внутреннее пространство.
В идее актуальной бесконечности мыслится, что эта бесконечность является чем-то неизменно внешним по отношению к пространству мышления. Основываясь на этой аксиоматики, последующие исследователи построили АБ при помощи абстракции актуальной осуществимости. Суть абстракции актуальной осуществимости заключается в следующем[89-91].
1. Строятся математические объекты при помощи набора конструктивных операций, допуская при этом, что объекты не только потенциально осуществимы, но и фактически построены.
2. Это воображаемое построение мысленно приравнивается к реальности, и к этой реальности применяются методы классической логики.
3. Представляют воображаемую совокупность как существующую независимо от набора конструктивных операций.
4. Представляют бесконечные совокупности одновременно существующих объектов.
Такое представление построения актуальной бесконечности при помощи абстракции актуальной бесконечности есть допущение возможности завершения бесконечного процесса абстракцией потенциальной осуществимости. И. Кант по этому поводу пишет: «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества не может быть закончен»[47, с. 272]. Это высказывание означает, что синтез единицы протекает вне временных и количественных рамок и построить актуальную бесконечность при помощи этих четырёх пунктов невозможно. Поэтому нет эффективного способа построения актуальной бесконечности. Такого же мнения и Ф. Аквинский. На вопрос может ли существовать актуально бесконечная величина и актуально бесконечное множество Фома отвечает отрицательно. Так как величины и множество конечны и разделены, то с количественной точки зрения они могут создать только потенциальную бесконечность. [92]. Была предпринята попытка построить актуальную бесконечность через потенциальную, рассматривая актуальную бесконечность как предел потенциальной бесконечности (кардинальные числа):
АБ = limf¥f (1.3)
Но предела потенциальной бесконечности не существует и построение АБ при помощи кардинальных или трансфинитных чисел, введённых Г. Кантором, не эффективно. Поэтому в настоящее время АБ в математике задаётся аксиоматически, и актуальная бесконечность обозначается знаком ¥.
АБ = ¥ (1.4)
Актуальную бесконечность можно построить из потенциальной бесконечности только одним способом ¾ по гегелевскому принципу отрицание отрицания. Снять (отрицать) с потенциальной бесконечности количество, т. е. отсечь от неё все количественные величины и признаки.
Последовательно отбрасывая финитные индексы у f¥f —1 и у f0f, мы получаем актуальную бесконечность:
f¥f ® f ¥ ® ¥
f0f ® f0 ® 0 (1.5)
Но в этом случае скажет проницательный читатель в актуальной бесконечности ничего не остаётся: ни чисел, ни предметов или объектов. Да, действительно, актуальная математическая бесконечность не будет содержать чисел, но теперь эта бесконечность перешла из количественной определённости в другую определённость ¾ качественную. Такими бесконечностями часто пользуемся в математике ¾ это обыкновенные прямые линии, и, как это покажется невероятным, актуальные бесконечности счётны, но не по количеству, а по качеству [4].
Согласно (1.5) имеются четыре математические записи актуальной бесконечности: f¥, ¥, f0, 0. Актуальные бесконечности f¥, ¥ являются внешними по отношению к субъекту, а бесконечности, f0, 0 ¾ внутренними.
Актуальные бесконечности f¥ и f0 имеют начало отсчёта f, например, прямая линия исходящая из начала координат и ограничена каким - либо дискретным репером будь-то число, человек, Земля, галактика и т. п. Актуальные бесконечности ¥ и 0 не имеют никаких ограничений, например, прямая линия тянущееся из ниоткуда в никуда.
Очень часто в философских и математических работах можно встретить следующее соображение против такой трактовке актуальной бесконечности: Я возьму ножницы и вырежу из этой, тянущейся из ниоткуда в никуда прямой линии, отрезок. Концы оставшейся прямой линии сдвинем, в результате этого сдвига актуально бесконечная линия становится конечной. Такой аргумент совершенно не правомочен по той причине, что в этом пространстве Бог ещё не сотворил человека, который бы мог это сделать, и полностью отсутствуют ножницы.
