Математические бесконечности.

 

Познанию и конструированию математических бесконечностей посвящено очень большое количество работ[1-44]. Как было показано понятия «бесконечное» и «бесконечность» не могут быть выражены через человеческий опыт, они не могут быть выражены и через конечность человеческого мышления. Но эти понятия можно осмыслить человеческим мышлением и связать это осмысление с опытом, пролонгируя его (опыт) за собственные пределы. Существует ли бесконечность чисел, существует ли бесконечное число, существует ли бесконечное пространство, существует ли бесконечное движение, существует ли бесконечное время? Эти вопросы не являются праздными, и их решение может перевернуть все наши представления о Вселенной. В современном математическом понятии бесконечности заложены неразрешимые парадоксы, основанные на неправильном употреблении этой категории и самого слова «бесконечность», а также связывание с ним недостаточно ясных представлений. Например, считается, что материальный мир бесконечен, но его можно измерить по частям. В физической литературе часто можно встретить такое выражение: возьмём бесконечную Вселенную и разобьём её на конечное число областей. Если протяжённость какой-либо области измерить в метрах, то она будет состоять из бесконечного количества подобных областей. Если же область измерить в сантиметрах, то одно бесконечное число будет в сто раз больше другого бесконечного числа.

Обычные арифметические правила оказываются неприменимы к бесконечности. Например, считается, что

 

¥ + ¥ + … + ¥ = ¥,

_____________

n раз

 

в то время как для чисел, это математическое действие будет равно:

 

а + а + … + а = nа

_____________

n раз

 

Из этого примера ясно видно, что сложение бесконечностей не подчиняется правилу сложения чисел.

Другой пример:

 

(¥ + а) = ¥

(¥ - а) = ¥

 

Данный пример показывает, что часть и целое равны между собой. Следуя правилам арифметики, бесконечность, стоящая в скобках есть часть той бесконечности, которая является суммой или разностью. Но сумма или разность всегда больше или меньше своих слагаемых, следовательно, бесконечность больше самой себя, что является логическим абсурдом. Рассмотрим следующий пример:

 

¥/а = ¥ ´ а = ¥

 

С точки зрения формальной логики этот пример означает, что бесконечность и число а, являются и частями самих себя и целыми в отношении себя самих. Из этих коротких примеров видно, что бесконечность не подчиняется правилам сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Следовательно, относить это понятие к числам нельзя. Об этом пишут математики Р. Курант и Г. Роббинс: «… при переходе от прилагательного «бесконечный», означающего просто-напросто «не имеющий конца», к существительному «бесконечность» никоим образом не следует привносить допущения, что «бесконечность», обыкновенно изображаемая символом ¥, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включать символ ¥ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом законов арифметики»[45, с 105]. Приведу выражение математика В. Кривова: «Особо подчеркнём, что ¥ не является натуральным числом»[46, с. 21]. Тем не менее, математики рассматривают множества, содержащие бесконечное количество элементов, принимая понятие «бесконечность» как число.

До сих пор собираются симпозиумы и конференции по исследованию понятия бесконечность и его связи с конечным, хотя все вопросы этой взаимосвязи были решены Аристотелем и Проклом, но об этом почему-то математики забывают. Вот теоремы доказанные Проклом[47]:

- никакая величина не может быть пройдена за бесконечное время.

- свойства бесконечных по величине тел бесконечны;

- бесконечной тяжести или лёгкости не существует;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны конечного;

- ничто конечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного.

Поэтому все взаимодействия конечного и бесконечного, а также взаимодействия бесконечного и бесконечного, в том числе и математические действия лишены смысла. Бесконечность в пространстве по смыслу слов означает, что нет ни начала, ни конца в какую бы сторону пространства не двигался познающий субъект или предмет: ни вперёд, ни назад, ни вверх, ни вниз, ни вправо, ни влево. Если число есть чисто счетная и количественная категория предметов, объектов и вещей, то понятие «бесконечность» не есть число и словосочетание «бесконечное число» бессмысленно. Бесконечной величине нет числа! Равенство целого своей части является характерным признаком бесконечной величины, её неизмеримость, невозможность выразить её через числовые величины.

Количественное или числовое пространство (пространство, ограниченное числом) должно находится, и двигаться в другом пространстве, где такого ограничения нет. Это пространство является полем для числового пространства и это поле называется бесконечным полем. Бесконечность не подчиняется закону построения созерцательным познанием потенциальной и актуальной бесконечностей и есть абстракция чистого разума. «Это расхождение между чувственной и рассудочной способностью указывает только на то, что ум часто не может выразить конкретно и превратить в созерцание те абстрактные идеи, которые он получил от рассудка. Но эта субъективная трудность, как это нередко бывает, ошибочно кажется каким-то объективным противоречием и легко вводит в заблуждение людей неосмотрительных, заставляя их принимать границы человеческого ума за пределы…», ¾ пишет по этому поводу И. Кант[48, с. 827]. Бесконечное не может быть выражено в понятиях опыта, т. к. бесконечное выходит за пределы пространства мышления, которое его мыслит. Если бесконечное мыслится человеком, то пространство мышления каким-то образом связано с бесконечным. Следовательно, понятие бесконечности проистекает не от желания самого субъекта мыслить это понятие, а от существования самого понятия бесконечного, влияющего на пространство мышления субъекта.

Человечество накопило громадный опыт в области бесконечного и пользуется различными типами бесконечностей в математике, физике и космологии: практической, безграничной, метрической, афинной, проективной, конформной, топологической и теоретико-множественной. Эти типы бесконечностей подробно рассмотрены в работе[49]. Математические и философские дискуссии по бесконечностям в основном касались количественного понятия бесконечности, не давая определения бесконечностям и не указывая их качественные свойства. Математическая наука не рассматривает и иногда даже отвергает философскую (метафизическую) бесконечность, прикрываясь тезисом, что каждая наука должна рассматривать только то, что касается её области.

Все эти типы бесконечностей основываются на двух более общих категориях бесконечного:

-потенциальная бесконечность;

-актуальная бесконечность.

По моим представлениям, бесконечное (бесконечность) есть субстанциальное понятие, обозначающее, что рассматриваемый объект не имеет ни начала, ни конца, как по количественной, так и по качественной категориям. С этих позиций и необходимо проанализировать существующие понятия бесконечного.