Типовые задачи с решениями
№ 1. Первый индивид произвел 200 ед. блага А, а второй – 240 ед. блага В. Предпочтения индивидов относительно данных благ отображаются функциями полезности:
, 
.
Индивиды договорились о распределении блага А: QA 1 = 120; QА 2 = 80.
1. Сколько блага В должен получить 1-й индивид для достижения оптимального по Парето распределения благ?
2. При какой цене блага А рынок обеспечивает оптимальное по Парето распределение, если РВ = 1?
Решение.
1. Условие оптимального по Парето распределения 
.
2. Условие равновесия потребителя
.
Бюджет 1-го индивида 0,8×120 + 48 = 144; бюджет 2-го 0,8×80 + 192 = 256.
Рис. 18. Парето-оптимальность в обмене
№2. Кривая производственных возможностей описывается уравнением 
, а функция общественной полезности: 
. Определите оптимальные объемы производства каждого блага.
Решение
Производственные возможности выступают в роли бюджетного ограничения при максимизации функции полезности:
 |
Рис. 19. Оптимум в производстве и обмене
№ 3. Опрос показал, что готовность жильцов трех домов платить за озеленение их двора выражается следующими функциями: P 1 = 80 – Q; P 2 = 60 – Q; P3 = 40 – Q, где Pi – максимальная сумма денег, которую согласны заплатить жильцы i -го дома за очередное дерево. Общие затраты на озеленение определяются по формуле TC = 10 + 2 Q + 0,5 Q 2. Определите Парето-оптимальное число деревьев во дворе дома.
Решение
Оптимальное количество деревьев определяется точкой пересечения линий предельных затрат MC = 2 + Q и предельной общественной полезности. Последняя образуется в результате вертикального сложения графиков цены спроса жителей трех домов:
Координаты точки пересечения определяется из равенства: 2 + Q = 140 – 2 Q Þ Q =46. Приравнивание к другим участкам кривой общественной полезности дает решение, не совпадающее с соответствующими интервалами выпуска: 2 + Q = 180 – 3 Q Þ Q = 44,5; 2 + Q = 80 – Q Þ Q = 39.
 |
Рис. 20. Оптимальный объем выпуска общественного блага
Задачи
№ 1. Первый индивид произвел 120 ед. блага А, а второй – 200 ед. блага В. Предпочтения индивидов относительно данных благ отображаются функциями полезности:
, 
.
Индивиды договорились о распределении блага А поровну.
1. Сколько блага В должен получить 1-й индивид для достижения оптимального по Парето распределения благ?
2. При какой цене блага А рынок обеспечивает оптимальное по Парето распределение, если РВ = 1?
№ 2. Для производства двух благ А и В имеется 240 ед. труда и 160 ед. капитала. Технологии производства представлены функциями
; 
.
При производстве блага А используется 16 ед. капитала, а при производстве блага В – 144 ед. Сколько ед. труда должно быть в отрасли А, чтобы обеспечить эффективность по Парето в производстве?
№ 3. Предпочтения двух потребителей относительно благ А и В представлены функциями полезности: , 
. Первый потребитель имеет 30 ед. блага А, а второй – 120 ед. блага B. Первый потребитель хочет получить от второго 30 ед. блага B в обмен на определенное количество блага А при РВ = 3. Какую максимальную цену онможет установить на благо А?
№ 4. Предпочтения двух потребителей относительно благ А и В представлены функциями полезности: , 
. Первый потребитель имеет 150 ед. блага А, а второй – 120 ед. блага B. Первый потребитель хочет получить от второго 60 ед. блага B в обмен на определенное количество блага А при РВ = 2. Определите бюджет (ценность имеющихся благ) 1-го потребителя после обмена.
№ 5. В экономике при совершенной производятся два блага по технологиям 
при LA + LB = 500. Функция общественной полезности имеет вид 
. Если цену блага А принять за 1, то чему должна быть равна цена блага В, чтобы рынок поддерживал в экономике оптимальность по Парето?
№ 6. В экономике при совершенной конкуренции производятся два блага по технологиям, представленным производственными функциями короткого периода: 
Из общего количества трудовых ресурсов L = 100 в данный момент в производстве блага А используется 80 ед., а в производстве блага В – 20 ед. труда. Какое количество труда перейдет из одной отрасли в другую, если потребительские предпочтения отображаются функцией полезности 
?
№ 7. В экономике при совершенной конкуренции производятся два блага по технологиям, представленным производственными функциями короткого периода: 
. Из общего количества трудовых ресурсов L = 500 в данный момент в производстве блага А используется 176 ед., а в производстве блага В – 326 ед. труда. На сколько единиц изменится объем выпуска блага В, если потребительские предпочтения отображаются функцией полезности 
?
№ 8. Опрос показал, что готовность жильцов трех домов платить за озеленение их общего двора выражается следующими функциями: P 1 = 20 – Q; P 2 = 30 – Q; P 3 = 40 – Q, где Pi – максимальная сумма денег, которую согласны заплатить жильцы i -го дома за Q -е дерево; Q – количество посаженных деревьев. Общие затраты на озеленение определяются по формуле TC = 0,125 Q 2. Определите: а) оптимальное число деревьев во дворе трех домов; б) оптимальную сумму затрат на посадку 1-го дерева.
№ 9. Спрос на напитки в жестяных банках отображается функцией QD = 200 – 2 P. Общие затраты фирмы на выпуск напитков соответствуют функции
TCn = 2 Q + 0,25 Q 2, а зависимость затрат на уборку городского мусора от количества купленных напитков выражается функцией TCu = 0,2 Q 2. На сколько выпуск напитков превышает общественный оптимум, когда расходы на уборку мусора финансирует муниципалитет?
№ 10. На двух взаимосвязанных рынках спрос и предложение отображаются следующими функциями:
1. При каких ценах на обоих рынках одновременно устанавливается равновесие?
2. Является ли равновесие устойчивым?
№ 11. На двух взаимосвязанных рынках спрос и предложение отображаются следующими функциями:
1. При каких ценах на обоих рынках одновременно устанавливается равновесие?
2. Является ли равновесие устойчивым?
№ 12. Готовность абитуриентов платить за учебу в вузах выражается функцией P = 50 – 0,5 N, где Р – сумма платы; N – число абитуриентов, тыс. чел. Выраженная в деньгах предельная общественная полезность высшего образования отображается функцией MU = 70 – 0,5 N, где MU – предельная общественная полезность. Общие затраты вузов на подготовку специалистов заданы функцией TC = 10 N + N 2.
Определите: а) величину внешнего эффекта подготовки одного специалиста с высшим образованием; б) число студентов, соответствующее максимуму общественной полезности.
Ответы
