Тема 3. Ценообразование на рынке совершенной конкуренции

 

Типовые задачи с решениями

 

№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие при спросе Q^D = 150 – 3 P и предложении Q^S = –15 + 12 P. В результате увеличения доходов потребителей они стали покупать на 30 ед. товара больше при каждой цене.

1. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде? б) цена в коротком периоде? в) объем продаж в длительном периоде при неизменных ценах на факторы и технологии производства?

2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.

 

Решение

1а. В исходных условиях 150 – 3 P = –15 + 12 P Þ P = 11; Q = 117.

В мгновенном периоде объем предложения не изменится; поэтому 180 – 3 P = 117 Þ P = 21; D P = 10.

1б. В коротком периоде 180 – 3 P = –15 + 12 P Þ P = 13; D P = 2.

1в. Цена вернется к исходному уровню; поэтому

Q = 180 – 3×11= 147; D Q = 30.

2а. e^D = –0,282; e^S = 1,128; 2б) e^D = –0,351; e^S = 1,106.

 

№ 2. На рынке установилось равновесие при спросе

Q^D = 20 – P и предложении Q^S = –4 + 2 P. Для пополнения бюджета государство обязало производителей платить 3 ден. ед. с каждой единицы проданной продукции. Определите: а) насколько изменились цена и объем продаж; б) на сколько сокращение суммы излишков производителей и потребителей превышает сумму собранных налогов; в) долю налога, уплачиваемую потребителями; г) чистые потери общества от введения налога.

 

Решение

 

а) До введения налога 20 – P = –4 + 2 P ® P = 8;

Q = 12; после введения налога 20 – P = –4 + 2(P – 3) ® P = 10; Q = 10. Следовательно: D P = 2; D Q = –2.

б) Собрано налогов 3×10 = 30. Сумма излишков до введения налога: (20 – 8)×12/2 + (8 – 2) ×12/2 = 108; после

(20 – 10)×10/2 + (7 – 2) ×10/2 = 75. Следовательно:

(108 – 75) – 30 = 3.

в) D P/t = 2/3.

г) Чистые потери общества: (10 - 7) ∙ (12 - 10)∙1/2 = 3

Рис. 5. Последствия введения акциза

№ 3. Функция спроса на товар имеет вид: Q^D = 9 – P,

а функция его предложения – Q^S = – 3 + 3 P.

1. Сколько единиц товара будет продано, если установить такую ставку налога на единицу товара, чтобы сумма собранного налога была максимальной?

2. Какова будет сумма налогов?

 

Решение

 

Пусть с каждой проданной пачки взимается t ден. ед. Тогда условие равновесия на рынке достигается при

9 – P = – 3 + 3(P – t); P = 3 + 0,75 t; Q = 6 – 0,75 t. Сумма собранных налогов равна T = tQ = 6 t – 0,75 t ². Она достигает максимума при 6 – 1,5 t = 0 Þ t = 4. Тогда P * = 6; Q * = 3, а сумма T = 4×3 = 12.

 

 

№ 4. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности и одинаковым бюджетом – М = 500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 4. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

 

Решение

 

а) Выведем функцию спроса на благо А каждого покупателя из условия равновесия потребителя и бюджетного уравнения (см., например, решение задачи №4 темы 2):

и функцию предложения каждой фирмы из условия максимизации прибыли (см., например, решение задачи №4 темы 1): . Тогда

 

б) Спрос каждого покупателя ; при заданной цене 25 ед. Тогда рыночный спрос равен 5000 ед.

 

 

№ 5. Функция спроса на розы имеет вид , а функция их предложения , где

t = 0, 1,...,6 (дни недели от понедельника до субботы).

1. Определить равновесную цену роз.

2. Какие цены на розы будут по дням недели, если в воскресенье на рынке была равновесная цена, а в понедельник спрос возрос таким образом, что при каждом значении цены покупали на 30 роз больше?

3. Какова равновесная цена после увеличения спроса?

 

Решение

1. Цену равновесия найдем из равенства , которое выполняется при P_t = P_{t –1}. В этом случае получим 0,5 P – 10 = 200 – P Þ P * = 140; Q * = 60.

2. Понедельник: = 230 – P ₁, а = 60, отсюда

P ₁= 230 – 60 = 170. Вторник: = 0,5×170 – 10 = 75; P ₂= 230 – 75 = 155. Среда: = 0,5×155 – 10 = 67,5;

P ₃= 230 – 67,5 = 162,5. Четверг: = 0,5×162.5 – 10 = 71,3; P ₄= 230 – 71,3 = 158,8. Пятница: = 0,5×158,8 – 10 = 69,4; P ₅ = 230 – 69,4 =160,6. Суббота: = 0,5×160,6 – 10 = 70,3; P ₆= 230 – 70,3 = 159,7.

3. Равновесная цена определяется из выражения

0,5 P – 10 = 230 – P Þ P ^* = 160; Q ^* = 70.

№ 6. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D =120 – 3 P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 20 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат

TC = 10 + 8 Q – 4 Q ² + Q ³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

Решение

1. Выведем функцию предложения фирмы по цене из условия максимизации прибыли MC (Q) = P:

.

Когда в отрасли будет работать 20 фирм, тогда функция отраслевого предложения примет вид .

При заданном спросе на рынке установится равновесие с ценой, обеспечивающей равенство

120 – 3 P = ® P * = 16,7; Q * = 69,9.

2) В условиях совершенной конкуренции в длинном периоде отраслевое равновесие устанавливается при P = MC = AC _min. Определим, при каком значении Q средние затраты минимальны:

(AC)¢ = 2 Q – 4 –10/ Q ² = 0 ® Q = 2,69.

При таком объеме выпуска

AC = 2,69² – 4×2,69 + 8 + 10/2,69 = 8,2. Следовательно, в длинном периоде цена будет равна 8,2 ден. ед., а объем спроса составит 120 – 3×8,2 = 95,4 ед. Число фирм, удовлетворяющих при такой цене отраслевой спрос, определится из равенства

.

Рис. 6. Равновесие фирмы и отрасли

№ 7. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС ₁ = 4 + 6 Q + Q ², либо ТС ₂ = 256 – 25 Q + Q ². Определите цену и объем продаж в длительном периоде при отраслевом спросе; а) Q^D = 12,5 – 0,25 Р; б) Q^D = 35,5 – 0,5 Р.

 

Решение

а) В длительном периоде P = min AC. Минимум AC ₁ достигается при

,

то есть min AC ₁ = 4/2 + 6 + 2 = 10. Минимум AC ₂ достигается при

,

то есть min AC ₂ = 256/16 – 25 + 16 = 7. Следовательно, при P = 10 объем спроса должен быть не меньше2 единиц, а при P = 7 – не меньше16 единиц. При заданном спросе по цене P = 7 спрашивают только 10,75 ед. Поэтому фирмы будут использовать технологию с затратами TC ₁. Равновесие установится при P = 10; Q = 10.

б) Теперь по цене P = 7 спрашивают 32 ед. Равновесие установится при P = 7; Q = 32.

P

Рис. 7. Последствия изменения отраслевого спроса

 

№ 8. Спрос на морковь отображается функцией Q^D = 30 – P. Ее продают в условиях совершенной конкуренции 3 группы фермеров. Из-за различий в плодородии земли они имеют разные затраты. Первая группа может произвести 6 ед. моркови при TC ₁ = 8 q, вторая – 7 ед. при TC ₂ = 10 q, третья – 9 ед. при TC ₃ = 12 q.

1. Определите: а) общую сумму экономических затрат на проданную морковь; б) сумму альтернативных затрат.

2. На сколько возрастут средние экономические затраты и сумма альтернативных затрат, если покупатели из-за увеличения доходов при каждой цене будут спрашивать на 3 ед. моркови больше?

 

Решение

1. В заданных условиях функция цены предложения имеет вид:

 

 

Кривая отраслевого спроса пересекает кривую предложения при P = 12; Q = 18. Следовательно, 1-я и 2-я группы фермеров смогут продать весь свой урожай, а 3-я группа только 5 ед. моркови. Общие экономические затраты: 12×18 = 216. Альтернативные затраты (ренту) имеют только 1-я и 2-я группы фермеров в виде разницы между ценой и фактическими затратами; сумма альтернативных затрат: (12 – 8)6 + (12 – 10)7 = 38.

 

2. Теперь кривая отраслевого спроса пересекает кривую предложения при P = 12; Q = 21.

Прирост спроса удовлетворяется 3-й группой фермеров. Поэтому ни средние экономические затраты, ни сумма альтернативных затрат не изменятся.

 

Рис. 8. Альтернативные и экономические затраты

 

Задачи

 

№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие при спросе Q^D = 200 – 2 P и предложении

Q^S = –10 + 6 P. В результате увеличения доходов потребителей они стали покупать на 40 ед. товара больше при каждой цене. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде? б) цена в коротком периоде? в) объем продаж в длительном периоде при неизменных ценах на факторы и технологии производства?

2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.

 

№ 2. На рынке пива установилось равновесие при спросе Q^D = 200 – 5 P и предложении Q^S = –10 + 5 P, а на рынке минеральной воды – при Q^D = 150 – 8 P и предложении Q^S = –4 + 2 P. Государство обязало производителей пива платить 4 ден. ед. с каждой проданной бутылки, а производителям минеральной воды стало доплачивать 2 ден. ед. за каждую проданную бутылку. Определите чистые экономические потери общества в результате указанных фискальных мероприятий государства.

 

№ 3. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P = 20; Q = 150; e^D = –2; e^S = 1,5. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов.

 

№ 4. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P = 20; Q = 80;

e^D = –2; e^S = 1,25. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов; г) цену и объем продаж после введения такого акциза д) чистые экономические потери общества от акциза.

 

№ 5. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности вида и одинаковым бюджетом – М = 500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 1. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

№ 6. В двух соседних регионах выращивают и потребляют картофель при следующих функциях спроса и предложения:

 

Перевозка единицы картофеля из одного региона в другой обходится в 9 ден. ед.

1. Насколько больше выращивается картофеля, когда его перевозка разрешена по сравнению с тем, когда она запрещена?

2. Какая цена транспортировки картофеля эквивалентна запрету на его перевозку?

 

№7. Рыночный спрос отображается формулой , а рыночное предложение – . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 10 ед. при любой цене.

1. Определите цену и объем продаж в 3-м периоде в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

2. Насколько возросла равновесная цена в результате увеличения спроса?

 

№8. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D = 270 – 5 P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 31 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат TC = 48 + 10 Q – 5 Q ² + Q ³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

3. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано в длительном периоде?

 

№ 9. Рыночный спрос – , а рыночное предложение – . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 40 ед. при любой цене.

Определите цены на рынке с 1-го по 5-й периоды включительно в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

№ 10. Отраслевой спрос отображается функцией Q^D = 250 – 10 Р. Отрасль функционирует в условиях совершенной конкуренции.

1. Какое количество фирм будет работать в этой отрасли в длительном периоде, если общие затраты на производство продукции равны LTC = 30 Q – 10 Q ² + Q ³?

2. Определите цену и объем продаж на рынке в длительном периоде.

 

№ 11. Рыночный спрос отображается функцией:

Q^D = 12,5 – 0,25 Р. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС ₁ = 4 + 6 Q + Q ², либо ТС ₂ = 98 – 10 Q + 0,5 Q ². На сколько возрастет объем продаж в длительном периоде, если в результате увеличения доходов потребителей они будут спрашивать на 16,5 ед. больше при каждой цене?

№ 12. Спрос на огурцы отображается функцией Q^D = 50 –2 P. Выращивать огурцы и продавать их в условиях совершенной конкуренции могут 3 группы фермеров. Из-за различий в плодородии земли они имеют разные затраты. Первая группа может произвести 10 т огурцов при TC ₁ = 5 q, вторая – 15 т при TC ₂ = 8 q, третья – 20 т при TC ₃ = 10 q. Определите средние экономические и предельные затраты на проданные огурцы.

 

№ 13. Какую сумму налогов получит государство при введении акциза на сахар в размере 2 руб за кг., если известно, что: а) сахар производят 120 конкурентных фирм; фирмы работают по технологии и могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w = 2, r = 18; б) покупают сахар 54 потребителя с одинаковыми функциями полезности и одинаковыми бюджетами М = 60?

 

№ 14. На рынке подсолнечного масла имеется 50 бедных покупателей с бюджетом 80 ден. ед. у каждого и 25 зажиточных покупателей, у каждого из которых бюджет равен 120 ден. ед. Предпочтения подсолнечного масла растительным жирам у всех покупателей одинаковые и характеризуются функцией полезности , где Q_m – количество масла в литрах; Q_g – количество жира в килограммах. Масло производится по технологии конкурентными фирмами, которые могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w=20, r = 5. Сколько растительного масла купит каждый бедный и каждый богатый покупатель, если цена растительного жира равна 10 ден. ед?

 

Тема 4. Ценообразование на рынке несовершенной конкуренции (монополия, монополистическая конкуренция, олигополия)