Оценка ошибок при выполнении работ

Опыт показывает, что ни одно измерение, как бы тщательно оно ни проводилось, не может быть выполнено без ошибок. В лабораторном эксперименте необходимо свести ошибки к минимуму и надежно рассчитать их величины.

 

КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И ОШИБОК

 

Измерения используются как средство регистрации физических величин непрерывного типа (расстояний, времени, веса и т.д.).

Прямыми измерениями называются такие, результаты которых получаются при непосредственном сравнении измерений величины с принятой единицей измерения, например, измерение времени секундомером, длины – линейкой и т. д.

Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины находят на основании зависимости между этой величиной и величинами, найденными в результате прямых измерений. Например, вычисление объема параллелепипеда по измеренным его сторонам, вычисление числа Рейнольдса и средней скорости и т.д.

Ошибки можно классифицировать по закономерностям появления.

Случайной называется такая ошибка, которая изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом. Случайная ошибка возникает как результат совместного влияния различных случайных факторов.

Систематической называется такая ошибка, которая остается постоянной на протяжении одной серии измерений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ПРИБОРАХ

 

Удобный способ представления результата любого измерения состоит в том, что указывается наилучшая оценка измеренной величины и интервал, в котором она лежит.

В общем случае результат измерения величины X приводится так:

Х=Х_наил.±δХ.

а) наилучшая оценка для измеренной величины есть число Х_наил;

б) экспериментатор до определенной степени уверен, что значение измеренной величины находится между Х_наил. + δХ и Х_наил.- δX.

Число δХ называется погрешностью или ошибкой измерения.

Погрешность δХ принято считать положительной величиной, так что Х_наил.+δХ есть всегда вероятное наибольшее значение измеряемой ве­личины, а Х_наил.-δХ – наименьшее.

Предположим, что производим n измерений величины Х (используя одну и ту же аппаратуру и один метод измерений) и получаем n значений Х₁,Х₂,…,Х_n. Полученной оценкой будет:

(а)

Обычно минимальное число измерений принимается равным 4-5. В теории вероятности строго доказывается, что при этом значение будет более надужным, чем любое из отдельных измерений, при этом погрешность при измерении величины Х равна δХ=σ_х. Величина σ_х называется стандартным отклонением среднего и определяется по формуле:

(б)

где N – число измерений. Можно записать

 

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

 

Как было сказано выше, погрешность в измерении:

показывает надежность или точность измерения. Однако погрешность в 1 мм для расстояния 100 м означало бы необычайно точное измерение, в то же время погрешность 1мм для расстояния 3 мм означало бы грубую оценку. Поэтому очевидно, что качество измерения характеризуется не только самой погрешностью δХ, но также и отношением δХ к , и этот факт за­ставляет нас рассматривать относительную погрешность, которая называ­ется также точностью.

Относительная погрешность приближенно характеризует качество измерений независимо от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ В КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

 

Большинство физических величин невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величины х, у, ..., которые могут быть непосредственно измерены. Затем, используя измеренные значения х, у, ... вычисляют саму искомую величину:

Z=α(x,y, …,w).

Предположим, что произведены измерения величин х, у, ... с соответствующими погрешностями δх, δу, и что теперь необходимо по измеренным значениям х, у,... вычислить величину z, которая нас интересует.Задача, которую мы должны решить, заключается в том, каким образом погрешности δх, δу, «распространяясь» через вычисления, приводят к погрешности δz косвенных измерений относительной величины z.

 

СУММЫ И РАЗНОСТИ

 

Если несколько величин х,...,w измерены с погрешностями δх...δw и используются для вычисления g=х+...+g-(u+...+w), то погрешности в рассчитанной величине есть сумма δz ≈ δх+... δg+ δu+...+ δw всех исходных погрешностей.

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНЫЕ

 

Если несколько величин х,..w измерены с погрешностями δх... δw и измеренные значения используются для расчета то относительная погрешность величины z равна сумме относительных погрешностей в х,...w:

 

УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО

 

Измеренное число умножается на точное число. Если величина x измерена с погрешностью δх и используется для вычисления произведения z=Вх, в котором В не имеет погрешности, то погрешность в z равна |В|, умноженному на погрешность в х: δz=|В|δх.

 

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

 

Если величина х измеряется с погрешностью δх и измеренное значение используется для вычисления степени этого числа z=xⁿ, то относительная погрешность в z в n раз больше относительной погрешности в х:

 

ТАБЛИЦА ВЕЛИЧИН ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Математическая операция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
N=А+В+С+...	±(∆А+∆В+∆С+...)
N=А-В	± (∆А+∆В)
N=А•В	± (В∆А+А∆В)	±(∆А/А+∆В/В)
N=A•B•C	± (ВС∆А+АС∆В+АВ∆С)	± (∆А/А+∆В/В+∆С/С)
N=А1/n	±А1\n-1
N=Аn	±nАn-1∆А	±n∆А\А
N=А/В	± (В∆А+А∆В)/В2	± (∆А/А+∆В/В)
N=sin(A)	± соs(А)∆А	± ctg(А)∆А
М=cos(A)	± sin(А)∆А	± tg(А)∆А

Пример 7. Расход измеряется три раза и получаются следующие значения:

W₁ = 2020 см³, t₁ =16 с,

W₂ =2558 см³, t₂ =20 c,

W₃ =1612 см³, t₃ =13 с,

Q₁= W₁/ t₁ =126,2 см³/с,

Q₂= W₂/ t₂ =127,9 см³/с,

Q₃= W₃/ t₃ =124 см³/с.

В данном случае величины удобно представлять так: объемы – см³, время – с, расход – см³/с, скорость – см/с, ускорение – см/с², разность показаний пьезометров – см.

Для дальнейших расчетов примем расход, равный среднему арифметическому:

При прохождении потока через местное сопротивление (поворот трубы на 90º) скорость не изменяется и равна:

где d – диаметр трубы, равный 20 мм.

Показания первого пьезометра (до местного сопротивления) h₁ =72 см, показания второго пьезометра (после местного сопротивления) h₂ =68 см, тогда ∆h = 72-68=4 см.

Подставляем все полученные величины в формулу для и определяем коэффициент местного сопротивления (для поворота трубы на 90º):

Теперь можно определить число Рейнольдса:

Пример 8. При тех же значениях расхода измерялась разность показаний пьезометров до и после местного сопротивления, представляющего собой внезапное расширение трубы от d₁ =20 мм, до d₂ =50 мм.

Разность показаний пьезометров ∆h₁ =1,7 см, ∆h₂ =1,5 см, ∆h₃ =1,3 см.

Среднее арифметическое значение ∆h:

Потери напора на этом сопротивлении

По формуле Борда потери в таком сопротивлении

Коэффициент местного сопротивления (по отношению и скорости V₁ =40 cм/с):

Пример 6. При определении нижнего критического числа Рейнольдса (Re_н.кр) несколько раз измеряется расход воды объемным способом (с помощью мерной емкости с ценой деления 2 см³ и секундомера с ценой деления 0,2 с).

Требуется найти величины абсолютной и относительной погрешностей при определении Re_н.кр.

Решение

Прямыми измерениями в данном случае являются измерения объёма, времени, температуры и диаметра.

Расход измерялся 5 раз с получением следующих результатов:

W₁ =865 см³, Q₁ =57,7 см³/с, t₁ =15 с,

W₂ =1174 см³, Q₂ =58,7 см³/с, t₂ =20 с,

W₃ =1417 см³, Q₃ =56,7 см³/с, t₃ =25 с,

W₄ =1298 см³, Q₄ =59 см³/с, t₄ =22 с,

W₅ =1392 см³, Q₅ =58 см³/с, t₅ =24 с.

Расчетный расход находится как среднее арифметическое из полученных значений по (а):

В полученном результате две цифры после запятой должны быть отброшены, как ненадежные.

Затем вычисляется стандартное отношение для Q по зависимости (б):

Окончательный результат определения расхода можно записать как Q =58±0,4 см³/с.

Относительная погрешность при определении расхода составит тогда 0,4/58·100% ≈ 1%.

Абсолютная погрешность при определении диаметра равна ±0,01м.

Число Рейнольдса находится по формуле:

Абсолютную и относительную погрешности при определении числа Re нужно найти самостоятельно, приняв, что кинематический коэффициент вязкости ν измерен точно (без заметной погрешности).