Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (22.13)

, (24.1.)

, (24.2.)

где Δ - Оператор Лапласа, υ– фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (24.1) и(24.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением:

, (24.3.)

где скорость электромагнитной волны, ε ₀ и μ ₀ - соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как εμ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (24.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость ε и μ от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (24.3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис.24.2.) показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 24.2), причем мгновенные значения и в любой точке связаны соотношением

. (24.4.)

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений (24.1)и (24.2) можно перейти к уравнениям

, (24.5)

, (24.6.)

где соответственно индексы у и z при H и E подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей z и у.

Рис.24.2.

Уравнениям (24.5) и (24.6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

, (24.7)

, (24.8)

где Е ₀ и Н ₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, ω — круговая частота волны, k =ω/u — волновое число, φ — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (24.7) и (24.8) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.