Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Если среда в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн. При распространении в линейной среде нескольких волн, каждая из них распространяется, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн и т.е. в виде волнового пакета, или группа волн как показано на рис. 22.2. Волновым пакетом – называется суперпозиция волн отличающихся друг от друга по частоте и занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Рис.22.2.

Рассмотрим простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления волн. С одинаковыми амплитудами А_0, которые отличающиеся по частоте w и w+dw причем dw<<w, и волновыми числами k и k+dk при условии, что dk<<k

(22.15)

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда, медленно изменяющаяся функция, координаты х и времени t:

. (22.16)

За скорость распространения этого волнового пакета принимают перемещение максимума амплитуды (точка C на рис.22.2), рассматривая его в качестве центра волнового пакета.

При условии, что , получим

, (22.17)

где u – групповая скорость

Cвязь между групповой u и фазовой υ скоростями дается соотношением:

. (22.18)

Групповая скорость может быть больше или меньше фазовой это зависит от знака dυ / dλ.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации в системах управления космическими объектами. В теории относительности доказывается, что групповая скорость в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

 

Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Когерентными могут быть только волны, имеющие одну частоту. При наложении когерентных волн наблюдается усиление или ослабление волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волны.

S2

Рис.22.3

При наложении двух когерентных волн, (рис.22.3) возбужденных точечными источниками S ₁ и S ₂, колеблющимися с амплитудами А ₁ и А ₂ запишем волновые уравнения:

, (22.19)

, (22.20)

где r ₁и r ₂ – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В, k - волновое число; φ ₁и φ ₂ – начальные фазы накладывающихся волн.

Амплитуда результирующей волны в точке В равна

. (22.21)

Т.к. для когерентных источников j ₁ -j ₂ =сonst то результат наложения двух волн зависит от разности хода D = (r ₁ -r ₂).

При условии

, (22.22)

где ().

Наблюдается интерференционный максимум, амплитуда результирующего колебания равна

.

В точках где

. (22.23)

Наблюдается интерференционный минимум, амплитуда результирующего колебания равна

.

n – называется порядком интерференционного максимума или минимума

Геометрическое место точек в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания представляет собой семейство гипербол (рис.22.2), где между двумя интерференционными максимумами (рис.22.2. сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (рис.22.2 штриховые линии).

 

Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны они наблюдаются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу. Запишем систему уравнений

. (22.24)

При решении данной получается уравнение

, (22.25)

подставим значение волнового числа, получим уравнение стоячей волны.

. (22.26)

Стоячую волну можно изобразить, как показано на рис. 22.4.

Точки в которых амплитуда максимальна (А_ст= 2 А) называются пучностью. Точки в которых амплитуда равна нулю (А_ст= 0) называются узлами. Точки среды находящиеся в узлах колебаний не совершают.

Рис.22.4

Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Тогда по формуле (22.26) определим координаты пучности и узла.

Координаты пучности . (22.27)

Координаты узла . (22.28)

Будет ли наблюдаться на границе отражения пучность или узел зависит от соотношения плотностей сред. Если плотность среды, от которой происходит отражение меньше плотности, среда распространения волны получается пучность. Если же среда отражения более плотная, то узел т.к. происходит изменение фазы.

В случае стоячей волны не происходит переноса энергии т.к. волны переносят энергию в противоположных направлениях. В пределах расстояний полуволны происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

Данный эффект, что стоячая волна энергию не переносит, используется при борьбе с шумами на автомобильных магистралях, специальным размещением щитов. (Например, Каширское шоссе.)

Прямоточный глушитель в автомобиле «Toyota» - сконструирован таким образом, чтобы в нем создавалась стоячая волна на разных участках по длине глушителя.

ГЛАВА 23. АКУСТИКА