Для непрерывности функции f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнение трех условий:
1. функция f(x) должна быть определена в точке x0, т.е. можно вычислить значение f(x0);
2. должны существовать и быть конечными односторонние пределы
;
3.A = B= f (x0).
Если все эти три условия выполнены, то x0 – точка непрерывности функции f(x).
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то x0 – точка разрыва функции f(x).
Точки разрыва функции можно разделить на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Причем точки разрыва первого рода так же делятся на точки устранимого и неустранимого разрывов. Т. е. можно рассматривать следующую схему
Дадим определения всех этих точек разрыва.
Устранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, 
, но f(x) неопределена при 
или 
.
Неустранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, но 
. При этом f(x) может быть как определена, так и не определена при .
Таким образом, у точек разрыва первого рода односторонние пределы должны существовать и быть конечными.
Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, есть точки разрыва второго рода. Т.е. если хотя бы один из односторонних пределов А или В не существует или равен ¥, то 
есть точка разрыва второго рода.
Пример выполнения задания 2
Исследовать функцию f(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва, если они есть, схематично построить график, если
Функции 
непрерывны при 
. Следовательно, f(x) может иметь точки разрыва лишь при 
. Проверим выполнение условий непрерывности в этих точках.
При 
имеем:
1. f(x) определена при , причем 
2. 
Получаем, что односторонние пределы А и В существуют и конечны.
3. 
Все условия непрерывности выполнены, т.е. есть точка непрерывности функции f(x).
При 
имеем:
1. f(x) определена при , причем 
.
2. 
Односторонние пределы А и В существуют и конечны.
3. 
Получили, что односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой. Таким образом, есть точка разрыва первого рода, неустранимого разрыва.
Схематично график функции f(x) имеет вид
 |
Указания к заданиям 3 и 4
Основные теоретические положения
При вычислении производной необходимо знать правила дифференцирования и производные основных элементарных функций.
Правила дифференцирования
Если f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке так же дифференцируемы 
причем
1) 
2) 
;
2о) 
где 
3) 
3о) 
Если функции u(x) и f(u) дифференцируемы, то дифференцируема и их суперпозиция 
причем
.
Производные элементарных функций
