Основные теоретические положения. Для непрерывности функции f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнение трех условий:

 

Для непрерывности функции f(x) в точке x₀ необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. функция f(x) должна быть определена в точке x₀, т.е. можно вычислить значение f(x₀);

2. должны существовать и быть конечными односторонние пределы

;

3.A = B= f (x₀).

Если все эти три условия выполнены, то x₀ – точка непрерывности функции f(x).

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то x₀ – точка разрыва функции f(x).

Точки разрыва функции можно разделить на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Причем точки разрыва первого рода так же делятся на точки устранимого и неустранимого разрывов. Т. е. можно рассматривать следующую схему

 

 

 

 

Дадим определения всех этих точек разрыва.

Устранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, , но f(x) неопределена при или .

Неустранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, но . При этом f(x) может быть как определена, так и не определена при .

Таким образом, у точек разрыва первого рода односторонние пределы должны существовать и быть конечными.

Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, есть точки разрыва второго рода. Т.е. если хотя бы один из односторонних пределов А или В не существует или равен ¥, то есть точка разрыва второго рода.

 

Пример выполнения задания 2

 

Исследовать функцию f(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва, если они есть, схематично построить график, если

Функции непрерывны при . Следовательно, f(x) может иметь точки разрыва лишь при . Проверим выполнение условий непрерывности в этих точках.

При имеем:

1. f(x) определена при , причем

2.

Получаем, что односторонние пределы А и В существуют и конечны.

3.

Все условия непрерывности выполнены, т.е. есть точка непрерывности функции f(x).

При имеем:

1. f(x) определена при , причем .

2.

Односторонние пределы А и В существуют и конечны.

3.

Получили, что односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой. Таким образом, есть точка разрыва первого рода, неустранимого разрыва.

Схематично график функции f(x) имеет вид

 

 

Указания к заданиям 3 и 4

Основные теоретические положения

 

При вычислении производной необходимо знать правила дифференцирования и производные основных элементарных функций.

 

Правила дифференцирования

Если f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке так же дифференцируемы причем

1) 2) ;

2^о) где

3)

3^о)

Если функции u(x) и f(u) дифференцируемы, то дифференцируема и их суперпозиция причем

.

Производные элементарных функций