В пространстве даны точки А(-2; 0; 1), В(2; 1; 1), С(4; -1; 3), S(-1; 1; 0). Сделаем схематично чертеж пирамиды
|
а) длину ребра АВ можно найти как длину вектора 
. Т.к.
,
то 
.
Уравнения ребра найдем как уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
.
В нашем случае
,
- канонические уравнения ребра АВ.
Замечание: форма записи канонических уравнений прямой является условной и в ней не деление на ноль, а отношение.
б) грань АВС образована векторами и 
, причем
.
Найдем векторное произведение этих векторов
(такой определитель лучше вычислять разложением по элементам первой строки).
Используя геометрическое свойство векторного произведения, получаем площадь грани АВС
.
В качестве нормального вектора 
плоскости АВС можно взять векторное произведение 
, но лучше предварительно его сократить на 2, т.е. получаем 
. Уравнение плоскости АВС найдем как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку 
перпендикулярно заданному вектору 
:
.
В качестве точки М0 можно взять любую из точек плоскости АВС, например точку А, тогда получаем
- общее уравнение плоскости АВС.
в) длину высоты SH можно найти как расстояние от точки S до плоскости АВС. Для этого общее уравнение плоскости приведем к нормальному виду. Т.к. - нормальный вектор плоскости,
- его длина,
- нормальное уравнение плоскости.
Подставим координаты точки S(-1; 1; 0) в полученное уравнение и возьмем модуль полученного числа
.
Так как - нормальный вектор плоскости АВС, то он является направляющим вектором высоты SH и уравнения высоты можно найти как уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору 
:
.
В нашем случае
- канонические уравнения высоты SH.
г) проекцией вершины S на плоскость АВС является точка Н, которую можно найти как точку пересечения плоскости АВС и прямой SH. Для этого канонические уравнения прямой SH приведем к параметрическим уравнениям
,
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости АВС
Полученное значение t подставим в параметрические уравнения
т.е. 
д) проекцией ребра АS на грань АВС является прямая АН, уравнения которой можно найти как уравнения прямой проходящей через две заданные точки:
.
Т.к. проекция проходит через точки А и Н, то ее уравнения имеют вид
- канонические уравнения проекции.
е) уравнения искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку 
параллельно заданному вектору 
т.е.
.
В нашем случае получаем
ж) вектор является нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение этой плоскости можно найти как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку 
перпендикулярно заданному вектору :
.
В нашем случае
з) угол a между ребрами АВ и AS можно найти как угол между векторами и 
:
Т.к. , 
, то
и) Т.к. угол b между прямой и плоскостью 
находится по формуле
и 
- направляющий вектор прямой AS;
- нормальный вектор плоскости АВС, то
к) найдем нормальный вектор 
плоскости АВS
Т.к. 
, то
- нормальный вектор плоскости АВС.
Угол g между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами 
, 
,
т.е. 
В нашем случае
Получили 
, т.е. полученный угол g тупой. Две плоскости при пересечении образуют четыре угла - два тупых g и два острых g1, причем 
, отсюда для острого угла g1 получаем
.
л) координаты центра тяжести О пирамиды АВСS можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат вершин пирамиды, т.е.
т.е. 
- центр тяжести пирамиды.
м) Т.к. объем пирамиды можно вычислить по формуле
,
причем 
- площадь основания,
- высота пирамиды.
Получаем
