Рассмотрим пример подключения источника постоянного напряжения e (t) = E 0 к последовательной RLC – цепи (рис. 4.4).
Цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются ДУ второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если ЭДС идеального источника изменяется во времени по закону
то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения
uC (0) = uC (–0) = 0; iL (0) = iL (–0) = 0. (4.12)
Составим уравнение электрического равновесия цепи для контура при t ≥ 0:
. (4.13)
Подставим независимые начальные условия (4.12) в уравнение (4.13)
. (4.14)
Дифференцируя правую и левую части (4.13), получим ДУ рассматриваемой цепи после коммутации:
. (4.15)
Это уравнение линейное и однородное второго порядка, поэтому решение, т. е. ток i (t) при t ≥ 0 содержит только свободную составляющую:
. (4.16)
Характеристическое уравнение последовательной RLC -цепи
Lp 2 + Rp + 1/ C = 0
имеет два корня:
(4.17)
где α = R/ 2 L – коэффициент затухания; 
– резонансная частота цепи.
Выражение (4.17) можно преобразовать к виду
. (4.18)
Продифференцируем правую и левую части выражения (4.16) и подставим выражение (4.14)
. (4.19)
Используя независимые начальные условия (4.12) и решая систему уравнений (4.16) и (4.19) при t ≥ 0, составим систему уравнений для определения постоянных интегрирования A 1 и A 2:
(4.20)
Откуда 
. (4.21)
С учетом (4.21), (4.17) и (4.18) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид:
. (4.22)
Выражение нормированного тока исследуемой цепи от времени имеет вид:
. (4.23)
В зависимости от соотношения между величинами α и ω0 (4.17), или, что тоже самое, в зависимости от величины добротности Q цепи (4.18), корни характеристического уравнения (4.17) или (4.18) могут быть вещественными различными (α > ω0 или Q < 1/2), комплексно-сопряженными (α < ω0 или Q > 1/2) или вещественными одинаковыми (кратными) (α = ω0 или Q = 1/2).
Если корни уравнения (4.17) вещественные различные (Q < 1/2), то переходный процесс носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что │ p 1│<│ p 2│, вторая составляющая нормированного тока i (2) затухает быстрее, чем первая i (1) (рис. 4.5).
При большей добротности (Q > 1/2), корни характеристического уравнения (4.17, 4.18) будут комплексно-сопряженными
где 
– частота свободных колебаний.
Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением (4.16), которое после нахождения постоянных интегрирования A 1 = E 0/(j 2ωсв L), A 2 = – E 0/(j 2ωсв L) может быть преобразовано к виду
где 
– амплитуда колебаний переходного процесса.
Таким образом, при включении в последовательную RLC -цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер (точнее, квазигармоническую функцию), амплитуда которой Im (t) экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении. Зависимость тока цепи от времени и огибающие (амплитуда) колебания ± Im (t) показаны на рис. 4.6, а.
Частота свободных колебаний и огибающие зависят от добротности цепи. При Q → ∞ частота свободных колебаний стремится к значению резонансной частоты ωсв → ω0, а амплитуда колебаний не убывает, так как α → 0 (рис. 4.6, б).
При добротности Q = 1/2 корни характеристическое уравнение цепи имеет два одинаковых вещественного корня p 1 = p 2 = –α. Как следует из выражения (4.6), общее решение ДУ (4.2) при t ≥ 0 в этом случае имеет вид
i = i св = (A 1 + A 2 t)e–α t . (4.24)
Определяя с помощью независимых (4.13) и зависимых (4.14) начальных условий значения постоянных интегрирования A 1 = 0, A 2 = E 0/ L и подставив их в выражение (4.24), окончательно получаем
i = E 0 t e – α t /L.
Как и в случае вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 4.7). В связи с этим, условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических переходных процессов. Это режим работы цепи называется критическим.
Таким образом, характер переходных процессов в линейной RLC-цепи полностью определяется характером корней характеристического уравнения, т.е.видом цепи значениями параметров элементов.
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод анализа переходных процессов используют в основном в тех случаях, цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Операторный метод применяется при решении более сложных задач.
