Переходные процессы в цепях первого порядка

Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи. Рассмотрим включение источника постоянного напряжения u (t) = E ₀ к RL двухполюснику (рис. 4.2).

Из рис. 4.2 следует, что до коммутации ключ K разомкнут, поэтому ток

i_L (–0) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом K замыкаем (осуществляем коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u (t) = E ₀. После замыкания ключа в цепи начнется переходный процесс.

Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной ток через индуктивность i_L = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:

. (4.8)

Уравнение (4.8) является линейным неоднородным ДУ первого порядка, решение которого можно записать согласно (4.3) в форме:

i = i _пр + i _св, (4.9)

где i _св – свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без источника u (t); i _пр – принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника u (t).

Свободная составляющая тока i _св есть общее решение однородного ДУ

Согласно (4.5) , где A – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения типа (4.4);

pL + R = 0.

Отсюда p = –R/L. Величина 1/ p = τ носит название постоянная времени цепи. В данном примере RL цепи τ = L/R.

Принужденная составляющая i _пр может быть определена как частное решение уравнения (4.8). Однако, как было указано выше, i _пр можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи.

При включении в цепь постоянного напряжения (ω = 0) в цепи будет протекать постоянный ток (ω = 0), при котором сопротивление индуктивности равно нулю: x_L = ω L = 0. Следовательно, установившийся ток в RL контуре равен i _пр = E ₀/ R.

Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (4.9) в форме и учтем начальные условия для тока через индуктивность, а также первый закон коммутации:

i (–0) = i_L (0) = 0 = A + E ₀/ R

Отсюда A = – E ₀/ R. Таким образом, закон изменения тока в RL контуре определяется уравнением

. (4.10)

Напряжение на индуктивности равно

. (4.11)

На рис. 4.3 изображены графики зависимостей нормированных значений тока ī_L = i_L / (E ₀/ R) и напряжения ū_L = u_L/E ₀ в RL- цепи.

Анализ полученных уравнений (4.10) и (4.11) показывает, что чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходный процесс. На практике принято считать переходный процесс законченным при t = (3 …5)τ. При t = 3τ ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5τ – более 99%. Графически постоянная времени τ может определяться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к u_L (рис. 4.3). В указанный момент времени напряжение на u_L уменьшается в e раз по сравнению с начальным.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных в момент t = 0 индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = ∞ как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Следует добавить, что при нулевых начальных в момент t = 0 емкость ведет себя как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи), а при t = ∞ как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи).

Рассмотренный пример показывает, что в цепи первого порядка переходный процесс носит апериодический (не колебательный) характер.