4.25. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид: 
, где 
– нормировочный коэффициент волновой функции, 
– расстояние электрона от ядра, 
– первый боровский радиус. Определить наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в основном состоянии. [ ].
4.26. Волновая функция, описывающая движение микрочастицы, имеет вид 
, где – нормировочный коэффициент волновой функции, – расстояние этой частицы до силового центра, 
– некоторая постоянная, имеющая размерность длины. Определить среднее расстояние 
частицы от силового центра. [ = 
].
4.27. Записать стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы массой 
, которая движется вдоль оси 
, а также определить посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? [ 
, спектр непрерывный].
4.28. Электрон в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в средней трети ящика? [0,609].
4.29. Волновая функция 
описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной 
. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ = 0,2 в двух случаях: 1) вблизи стенки 
; 2) в средней части ящика 
. [0,052; 0,4].
4.30. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить наименьшую разность энергий двух соседних энергетических уровней (в электронвольтах) электрона в двух случаях: 1) = 1 мкм; 2) = 0,1 нм. [1,1∙10-12 эВ; 110 эВ].
4.31.Вероятность обнаружить частицу на участке (a,b) одномерного потенциально-го ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле  . Если  – функция имеет вид, указанный на рисунке справа, то чему равна
|
|
вероятность обнаружить частицу на участке  , где – ширина ящика. [2/3].
|
4.32. Пучок электронов с энергией Е = 15 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 20 В и шириной =0,1 нм. Определить коэффициент прозрачности потенциального барьера (коэффициент прохождения) D и коэффициент отражения R электронов от барьера (R + D = 1). [D = 0,1; R = 0,9].
4.33. Частица массой движется в одномерном потенциальном поле 
= 
(гармонический осциллятор). Собственная волновая функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид 
, где – нормировочный коэффициент; – положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определить: 1) постоянную ; 2) энергию частицы в этом состоянии. [ 
; 
].
Квантовые статистики
4.34. Показать, что при kT >> Ei (малом параметре вырождения) квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана, то есть бозонный и фермионный газы приобретают свойства классического идеального газа. [ 
<< 1; 
].
4.35. Для каких квантовых частиц характерна знаковая неоднозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [фермионов; имеют полуцелые значения спина].
4.36. Для каких квантовых частиц характерна знаковая однозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [бозонов; имеют целочисленные значения спина].
