Волновая функция и уравнение Шредингера

4.25. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид: , где – нормировочный коэффициент волновой функции, – расстояние электрона от ядра, – первый боровский радиус. Определить наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в основном состоянии. [ ].

4.26. Волновая функция, описывающая движение микрочастицы, имеет вид , где – нормировочный коэффициент волновой функции, – расстояние этой частицы до силового центра, – некоторая постоянная, имеющая размерность длины. Определить среднее расстояние частицы от силового центра. [ = ].

4.27. Записать стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы массой , которая движется вдоль оси , а также определить посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? [ , спектр непрерывный].

4.28. Электрон в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в средней трети ящика? [0,609].

4.29. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ = 0,2 в двух случаях: 1) вблизи стенки ; 2) в средней части ящика . [0,052; 0,4].

4.30. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислить наименьшую разность энергий двух соседних энергетических уровней (в электронвольтах) электрона в двух случаях: 1) = 1 мкм; 2) = 0,1 нм. [1,1∙10^-12 эВ; 110 эВ].

4.31.Вероятность обнаружить частицу на участке (a,b) одномерного потенциально-го ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле . Если – функция имеет вид, указанный на рисунке справа, то чему равна
вероятность обнаружить частицу на участке , где – ширина ящика. [2/3].

4.32. Пучок электронов с энергией Е = 15 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 20 В и шириной =0,1 нм. Определить коэффициент прозрачности потенциального барьера (коэффициент прохождения) D и коэффициент отражения R электронов от барьера (R + D = 1). [D = 0,1; R = 0,9].

4.33. Частица массой движется в одномерном потенциальном поле = (гармонический осциллятор). Собственная волновая функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид , где – нормировочный коэффициент; – положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определить: 1) постоянную ; 2) энергию частицы в этом состоянии. [ ; ].

Квантовые статистики

4.34. Показать, что при kT >> E_i (малом параметре вырождения) квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана, то есть бозонный и фермионный газы приобретают свойства классического идеального газа. [ << 1; ].

4.35. Для каких квантовых частиц характерна знаковая неоднозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [фермионов; имеют полуцелые значения спина].

4.36. Для каких квантовых частиц характерна знаковая однозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы? [бозонов; имеют целочисленные значения спина].