Элементы квантовой статистики. 4.53.Система, состоящая из N = 1020 трехмерных осцилляторов, находится при температуре ( = 250 К)

4.53. Система, состоящая из N = 10²⁰ трехмерных осцилляторов, находится при температуре ( = 250 К). Определить энергию системы. [1,49 Дж].

4.54. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить удельную теплоемкость при постоянном объеме алюминия при температуре 200 К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К. [770 Дж/кг∙К].

4.55. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры T₁ = 4 К до температуры T₂ = 5 К. Принять характеристическую температуру Дебая для калия = 100 К и считать условие T << выполненным. [0,92 Дж]. 4.56. Определить в электронвольтах максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле калия, характеризуемом температурой Дебая = 100 К. [0,0086 эВ].

4.57. Оценить среднюю энергию свободных электронов в металлах при абсолютном нуле температур, если средняя концентрация электронов проводимости в металлах составляет 5∙10²⁸ м^-3. [3 эВ]. 4.58. Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре Т = 0 К. Чему будет равна возникшая контактная разность потенциалов? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал? ( _Li = 0,53∙10³ кг/м³; _Zn = 7,15∙10³ кг/м³). [U₁₂ = 0,8 B; Li].

4.59. Доказать, что уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны. [E_F = ].

4.60. Кремниевый образец, ширина запрещенной зоны в котором равна 1,1 эВ, нагревают от температуры t₁ = 0 ^оС до температуры t₂ = 10 ^оС. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость g? [В 2,28].

4.61. При нагревании германиевого кристалла от температуры 0 ^оС до температуры 10 ^оС его удельная проводимость возрастает в 1,49 раза. По приведенным данным определить ширину запрещенной зоны кристалла германия. [0,72 эВ].

4.62. Предположим, что p – n – переход находится при 0 ^оС и при прямом напряжении 0,1 В, a его сопротивление равно
10 Ом. Каково сопротивление перехода, если поменять полярность напряжения? [692 Ом].

4.63. Прямое напряжение, приложенное к p – n – переходу, равно 0,1 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от Т₁=300 К до Т₂=273 К? [В 1,1 раза].

4.64. Глубина потенциальной ямы U металла составляет
10 эВ, а максимальная энергия электрона Е_max, отсчитанная от дна ямы, равна 6 эВ. Определить уровень Ферми Е_F и работу выхода А электрона в этом металле. [Е_F = 6 эВ; А = 4 эВ].

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА

И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Физика атомного ядра

Основные формулы и законы

 

· Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

,

где – зарядовое число (число протонов); – число нейтронов.

· Радиус ядра с массовым числом

.

· Дефект массы ядра

,

где , и – соответственно масса протона, нейтрона и ядра.

Если взять не массу ядра , а массу атома (изотопа) и вместо массы протона массу атома водорода , то

.

· Энергия связи и удельная энергия связи

, .

Если массы измерять в а.е.м., то (МэВ), так как 1 а.е.м.∙с² = 931,5 МэВ.

· Закон радиоактивного распада

или ,

где – число ядер, распадающихся за время ; – число ядер, не распавшихся к моменту времени ; – число ядер в начальный момент времени ( =0); – постоянная радиоактивного распада.

· Период полураспада

.

· Среднее время жизни радиоактивного ядра

.

· Активность радиоактивного изотопа – число распадов за 1 с:

или ;

В СИ активность измеряется в беккерелях (Бк), внесистемная единица активности – кюри (Ки), .

· Правила смещения для -распада

.

· Правила смещения для β ^–-распада

.

· Правила смещения для β ⁺-распада

.

 

· Энергетический эффект ядерной реакции (в МэВ)

,

где сумма масс (в а.е.м.) исходных реагентов; сумма масс (в а.е.м.) продуктов реакции.

· Основные дозиметрические величины:

1) поглощенная доза излучения D_п = ∆Е_погл/m;

2) экспозиционная доза D_Э = (1р = 2,58∙10^-4 Кл/кг)

3) биологический эквивалент рентгена (1 бэр = 10^-9 Дж/кг)

4) мощность дозы излучения P_п = D_п/∆t или P_э = D_э/∆t, где ∆t – длительность облучения.

 

Задания

 

5.1. Определить плотность частиц (нуклонов) ядерного вещества, выражаемую числом нуклонов в 1 см³, если в ядре с массовым числом А все нуклоны плотно упакованы в пределах его радиуса. Используя вычисленную плотность частиц ядерного вещества, определить плотность массы нейтронной звезды, если все нейтроны плотно упакованы в пределах всего объема звезды (m_n = 1,675∙10^{-27 кг). [8.7∙1037} см^-3; 1,46∙10¹⁷ кг/м³]

5.2. Определить энергию и удельную энергию связи для ядер изотопов 1) гелия: а) He; б) He; 2) урана: а) U; б) U. Какие выводы можно сделать на основе вычисленных значений энергии и удельной энергии связи? (см. примечание к п. 5.3).

1) [28,4 МэВ; 7,1 МэВ/нуклон; 7,8 МэВ; 2,6 МэВ/нуклон].

2) [1786 МэВ; 7,6 МэВ/нуклон; 1804 МэВ; 7,58 МэВ/нуклон].

5.3. Определить удельную энергию связи для ядер:
1) дейтерия D; 2) гелия Не; 3) лития Li; 4) кислорода О;
5) алюминия Al; 6) железа Fe; 7) ксенона Хе; 8) золота Au; 9) урана U. [1) 0,56 МэВ/нуклон; 2) 7,08 МэВ/нуклон; 3) 5,61 МэВ/нуклон; 4) 7,98 МэВ/нуклон; 5) 9,34 МэВ/нуклон; 6) 9,30 МэВ/нуклон; 7) 9,40 МэВ/нуклон; 8) 7,92 МэВ/нуклон; 9) 7,58 МэВ/нуклон].

Примечание: для решения задач 5.2 и 5.3 используйте массы протона и нейтрона (в а.е.м.): m_p = 1,00728; m_n = 1,00867, а также используйте нижеприведенную таблицу.

 

Изотоп	Масса (а.е.м.)	Изотоп	Масса (а.е.м.)	Изотоп	Масса (а.е.м.)
Н	1,00814	Li	7,01823	Хе	130,94662
D	2,01474	О	15,99491	Au	198,03048
Не	3,01699	Al	25,99008	U	235,11750
Не	4,00387	Fe	5,92264	U	238,12522

5.4. Зная постоянную распада ядра, определить вероятность W того, что ядро распадается за промежуток времени от 0 до t. [ W=∆N/N_o=1 – ].
5.5. Период полураспада некоторого радиоактивного изотопа Т_1/2 = 2 с. Определить вероятность W того, что ядро не распадется на промежутке t, равном 10 с. [W = ∆N/N_o = = 0,31].

5.6. Определить, сколько ядер в m_o = 5 мг радиоизотопа церия Се распадается в течение промежутков времени:
1) ∆t = 1 с; 2) ∆t = 1 год. Период полураспада радиоизотопа церия Се Т = 285 суток. [1) 6∙10¹¹; 2) 1,25∙10¹⁹].

5.7. Образец содержит 1000 радиоактивных атомов (изотопов) с периодом полураспада Т_1/2, Сколько атомов останется через промежуток Т/2? [250].

5.8. За какое время произойдет распад 2 мг полония Ро, если в начальный момент его масса 0,2 мг? [28,5 мин].

5.9. Сколько ядер распадается за 1 с в куске урана U массой 1 кг? Какая активность этого урана? [∆N = 1,236∙10⁷ распадов/с; А = 0,33 мКи].

5.10. Что больше: среднее время жизни радиоактивного ядра или период полураспада Т _1/2? [ больше Т_1/2 в 1,44 раза].

5.11. Чтобы определить возраст древней ткани, найденной в одной из египетских пирамид, была определена концентрация в ней атомов радиоуглерода С. Она оказалась соответствующей 9,2 распадам в минуту на один грамм углерода. Концентрация С в живых растениях соответствует 14 распадам в минуту на один грамм углерода. Период полураспада Т_1/2 С равен 5730 лет. Исходя из этих данных, оценить возраст древней ткани. [3,5∙10³ лет].

5.12. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить, в какой элемент превращается радий Ra после пяти - и четырех β ^–-распадов. [ Pb].

5.13. Определить высоту кулоновского потенциального барьера для -частицы в ядре полония Ро. Покоившееся ядро полония испускает -частицу с кинетической энергией Т_α= 5,77 МэВ. За счет какого эффекта -частица вылетает из ядра? [26,6 МэВ; туннельный эффект].

5.14. Используя принцип неопределенности в виде ∆r∆p≥ , показать, что электрон не может находиться внутри атомного ядра ( = 0,66∙10^-15 эВ∙с). [∆p = 0,33 эВ∙с/м; Е = 99 МэВ ≥ 10 МэВ].

5.15. Определить энергию, выделяющуюся при следующих реакциях:

1) Н + Не ® Н + Не;

2) Li + Н ® Не + Не;

3) Li + Н ® Не + Не.

Примечание: при решении задачи используйте таблицу, приведенную к задаче 5.3; m _Li = 6,01703 а.е.м.

[1) 18,3 МэВ; 2) 22,4 МэВ; 3) 4,02 МэВ].

5.16. Определить наименьшую энергию g -кванта, необходимую для осуществления следующей реакции:

Н + g ® Н + .

Примечание: при решении задачи используйте таблицу, приведенную к задаче 5.3.

5.17. Предположим, что для преодоления электростатического отталкивания два дейтрона Н должны сблизиться до 10^{-14 м. Определить высоту электростатического потенциального барьера в МэВ. До какой температуры нужно нагреть дейтрон, чтобы преодолеть потенциальный барьер? [0,14 МэВ; 5,6∙106} К ].

5.18. Ядро урана U, захватывая быстрый нейтрон, превращается в радиоактивный изотоп урана, который претерпевает ^–-распад, и превращается в трансурановый элемент, который в свою очередь также претерпевает ^–-распад, в результате чего образуется плутоний. Записать все эти процессы в виде ядерных реакций.

5.19. Определить энергию, выделяющуюся в результате реакции . Массы нейтральных атомов магния и натрия соответственно равны 3.8184 и 3,8177 кг.

5.20. Ядро урана U, захватывая тепловой нейтрон, делится на изотопы стронция и ксенона с массовыми числами 95 и 139, второй из которых, являясь радиоактивным, претерпевает 3 ^–-рас-пада. Записать реакцию деления, а также цепочку ^–-распадов.

5.21. Французские ученые Ирэн и Фредерик Жолио-Кюри, открывшие искусственную радиоактивность, подвергли бомбардировке -частицами бор В, алюминий Al и магний Mg. Записать соответствующие ядерные реакции. Напомним, что при данных реакциях возникают нейтроны.

5.22. Сколько энергии выделится при ядерном делении 1 кг урана U в урановом реакторе (или в атомной бомбе)? Какое количество угля необходимо сжечь для получения такого же количества теплоты (калорийность угля принять равной 29,3 МДж/кг)? Считать, что средняя энергия, выделяющаяся при делении одного ядра урана U, составляет 200 МэВ. [5,13∙10²⁶ МэВ; 2,8∙10⁶ кг ].

5.23. Энергия излучения Cолнца возникает вследствие цепочки термоядерных реакций, конечным результатом которых является превращение четырех ядер водорода в одно ядро гелия. Термоядерные реакции, происходящие в водородной бомбе и в предполагаемых установках по мирному использованию термоядерных реакций, в общем сводятся к тому же. Определить, какое количество воды можно было бы нагреть от 0 ^оС до кипения за счет превращения в гелий 4 г водорода. [ 1,54∙10⁶ кг ].

5.24. Для сравнения биологического действия различных видов излучения используется коэффициент относительной биологической активности (КОБА). Он показывает, во сколько раз действие данного излучения сильнее биологического действия -излучения при равных видах поглощенной энергии. Ниже приведен КОБА для различных видов радиоактивных излучений. Подберите соответствующие значения КОБА для: 1) рентгеновских лучей и β-частиц; 2) a-частиц; 3) нейтронов. [1; 1–10; 10–20 соответственно].

5.25. Какую дозу радиоактивного излучения измеряют соответствующие приборы (поглощенную или экспозиционную)?

5.26. Скорость нарастания цепной реакции задается формулой , откуда , где – число нейтронов в начальный момент времени; – число нейтронов в момент времени t; Т – среднее время жизни одного поколения; К – коэффициент размножения нейтронов. Определить, во сколько раз увеличится число нейтронов в цепной ядерной реакции за время t = 10 с, если среднее время жизни Т одного поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов k = 1,002. [ / = 1,284]. 5.27. Характер зависимости числа нейтронов в момент t цепной ядерной реакции деления тяжелых ядер, как следует из формулы, приведенной в задаче 5.26, определяется знаком выражения (k – 1). Различают: 1) развивающуюся; 2) затухающую; 3) самоподдерживающуюся реакции. Как называются режимы соответствующих цепных ядерных реакций? Какие значения k им соответствуют? [Надкритический: k >1; критический: k =1; подкритический: k <1].