Теория метода и описание установки. Лабораторная установка представляет собой стойку с кронштейном, к которому подвешены две пружины различной жесткости (рис

Лабораторная установка представляет собой стойку с кронштейном, к которому подвешены две пружины различной жесткости (рис. 2.1). К нижним концам пружин прикреплены подвески для помещения на них грузов. Удлинение пружин можно измерять по линейкам, вертикально закреплённым на поворачивающемся кронштейне. На рис. 2.1 показаны три состояния одной из пружин.

Первые два состояния – это состояния равновесия, т. е. ускорение тела равно нулю. В первом состоянии подвеска пустая, и длина пружины с подвеской равна l ₀. Во втором состоянии пружина удлинилась под действием положенного на подвеску груза массой т на величину D l, и её длина с подвеской стала равна l. В третьем состоянии удлинение пружины с грузом больше равновесного удлинения D l на величину х, которую называют смещением от положения равновесия. В этом состоянии ускорение тела не равно нулю. Также на рисунке показана ось координат Ох,направленная вертикально вниз. За х = 0 принято положение равновесия.

На тело, подвешенное на пружине, действуют сила упругости и сила тяжести (см. рис. 2.1), которые сообщают телу ускорение в соответствии со вторым законом Ньютона

(2.1)

Используя этот закон, можно определить коэффициент упругости пружины двумя способами:

· по удлинению пружины под действием груза известной массы – статический метод;

· по периоду колебаний груза известной массы – динамический метод.

В первом случае для измерений потребуется только линейка, а во втором случае – только секундомер. В данной работе предлагается использовать только второй способ.

Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

x = A cos(w t + j ₀),

(2.2)

где A – амплитуда; w = 2p /T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; j₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме D l и x (см. рис. 2.1):

F _y_пр = k (D l + x).

(2.3)

Здесь D l – удлинение пружины под действием покоящегося груза:

(2.4)

Записав второй закон Ньютона (2.1) в проекциях на ось x (см. рис. 2.1) и учтя выражения (2.3) и (2.4), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

(2.5)

где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений и x в уравнение (2.5) получим

m w² = k.

(2.6)

Зная циклическую частоту колебаний w и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

(2.7)

Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (2.7) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (2.7) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b,чтобы свести уравнение (2.7) к указанной линейной зависимости.

Выполнение измерений

1. Поместите на подвеску все 5 грузов, запишите в табл. 2.1 их общую массу с учетом массы подвески.

2. Нажимая двумя пальцами на верхнюю плоскость груза, оттяните его на любую величину А < D l вниз и быстро уберите пальцы вверх.

Таблица 2.1

№ п.п.	m	N	t	T	á T ñ	á T ñ²
	…	… … …	… … …	… … …	…	…

	…	… … …	… … …	… … …	…	…

3. Запишите значение N и измерьте время t, за которое груз сделает N полных колебаний, запишите его в табл. 2.1. Измерения времени с каждым грузом нужно проделать по 3 раза, изменяя число колебаний. Например, N ₁ = 12, N ₂ = 20, N ₃ = 28, или 10, 15, 20 колебаний (по указанию преподавателя).

Подсказка:чтобы сделать три замера, достаточно запустить колебания один раз, потому что период колебаний не зависит от амплитуды, которая постепенно уменьшается вследствие затухания колебаний.

4. Снимите верхний груз и проведите такие же измерения, сохраняя выбранные значения числа колебаний.

5. Снимите ещё один груз, проведите измерения с тремя оставшимися, затем с двумя и, наконец, с одним, самым тяжёлым грузом. Все показания секундомера и массы грузов запишите в табл. 2.1.