Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Из известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, описываемое законом Гаусса. Это объясняется как его относительной простотой, так и тем, что многие случайные величины, формирование значений которых определяется большим количеством неконтролируемых факторов, каждый из которых вносит относительно небольшой вклад, имеют распределение, близкое к нормальному.

Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид f(x)= 1/ σ√2π *e ^–(^x^-μ)2/2σ2 (8.28)

где μ— математическое ожидание; σ² — дисперсия; σ — среднее квадратическое отклонение этой величины.

График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рис. 8.2.

Этот график симметричен относительно вертикальной прямой x_max= μ, причем в точке = ф-ия имеет максимум, равный ymax = 1/σ√2π

Поскольку ф-ия f(x) стремится к нулю при Х →±∞, то ось абцисс является асимптотой графика этой ф-ии.

§ 10.3. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров, называют деформацией.

Деформации могут быть вызваны внешними воздействиями (механическими, электрическими или магнитными) или изменением температуры тела. Здесь рассматриваются деформации, возникающие при действии сил на тело.

В твердых телах деформацию называют упругой, если после прекращения действия силы она исчезает. Если же деформация сохраняется и после прекращения внешнего воздействия, то ее называют пластической. Промежуточный случай, т.е. неполное исчезновение деформации, принято называть упругопластической деформацией.

Наиболее простым видом деформации является растяжение (сжатие). Оно, например, возникает в стержне (рис. 10.11,а,б) при действии силы, направленной вдоль его оси. Если стержень длиной L при этом удлинился на ΔL, то ε = L/ΔL является мерой деформации растяжения и называется относительным удлинением.

Другим видом деформации является сдвиг (рис. 10.12, а, 5). Сила, касательная к одной из граней прямоугольного параллелепипеда, вызывает его деформацию, превращая в косоугольный параллелепипед (см. штриховые линии на рисунке). Угол γ называют углом сдвига, а tgγ — относительным сдвигом. Так как обычно угол γ мал, то можно считать tg γ=γ.

При действии на тело внешней деформирующей силы расстояние между атомами (ионами) изменяется. Это приводит к возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальные положения. Мерой этих сил является механическое напряжение (или просто напряжение).

Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Косвенно напряжение можно определить по некоторым физическим эффектам.

Применительно к деформации растяжения напряжение σможно выразить как отношение силы к площади поперечного сечения стержня: σ =F/S

Для деформации сдвига напряжение τ выражают как отношение силы к площади грани, к которой сила касательна. В этом случае τ называют касательным напряжением: τ =F/S

Упругие малые деформации подчиняются закону Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Для двух рассмотренных случаев (растяжение, сжатие) это аналитически записывается так: σ =Eε и τ =Gγ (10.1)

где Е — модуль Юнга, а G — модуль сдвига.

Экспериментальная кривая растяжения приведена на рис. 10.13. Участок ОА соответствует упругим деформациям, точка В — пределу упругости, характеризующему то максимальное напряжение, при котором еще не имеют места деформации, остающиеся в теле после снятия напряжения (остаточные деформации). Горизонтальный участок СD кривой растяжения соответствует пределу текучести - напряжению, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения. И наконец, напряжение, определяемое наибольшей нагрузкой, выдерживаемой перед разрушением, является пределом прочности.

Между упругими свойствами кристаллических мономеров и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница, например в пределах прочности сталь разрывается уже при растяжении на 0,3%, а мягкие резины можно растягивать до 300%. Это связано с качественно другим механизмом упругости высокомолекулярных соединений.

Как уже говорилось, при деформации кристаллических твердых тел, например, стали, силы упругости всецело определяются изменением межатомных расстояний. Структура высокомолекулярных соединений не регулярна. Они состоят из очень длинных гибких молекул, которые причудливо изогнуты, части молекул находятся в хаотическом тепловом движении так, что их форма и длина все время изменяются. Но в каждый данный момент большинство молекул в недеформированном образце имеет длину, близкую к наиболее вероятной. При приложении нагрузки к материалу (рис. 10.14, а) его молекулы выпрямляются в соответствующем направлении и длина образца увеличивается (рис. 10.14, б). После снятия нагрузки вследствие хаотического теплового движения длина каждой молекулы восстанавливается и образец укорачивается.

Упругость, свойственную полимерам, называют каучкоподобной эластичностью (высокой эластичностью или высокоэластичностью).

§ 9.7. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

На поверхностях раздела жидкости и ее насыщенного пара, двух несмешиваемых жидкостей, жидкости и твердого тела возникает сила, обусловленная различным межмолекулярным взаимодействием граничащих сред.

Каждая молекула, расположенная внутри объема жидкости, равномерно окружена соседними молекулами и взаимодействует с ними, но равнодействующая этих сил равна нулю. На молекулу, находящуюся вблизи границы двух сред, вследствие неоднородности окружения действует сила, не скомпенсированная другими молекулами жидкости. Поэтому для перемещения молекул из объема в поверхностный слой необходимо совершить работу.

Поверхностное натяжение определяется отношением работы, затраченной на создание некоторой поверхности жидкости при постоянной температуре к площади этой поверхности: σ =А/S (9.21)

Условием устойчивого равновесия жидкостей является минимум энергии поверхностного слоя, поэтому при отсутствии внешних сил или в состоянии невесомости жидкость стремится иметь минимальную площадь поверхности при данном объеме и принимает форму шара.

Поверхностное натяжение может быть определено не только энергетически. Стремление поверхностного слоя жидкости сократиться означает наличие в этом слое касательных сил — сил поверхностного натяжения. Если выбрать на поверхности жидкости некоторый

отрезок длиной L (рис. 9.8), то можно условно изобразить эти силы стрелками, перпендикулярными отрезку.

Поверхностное натяжение равно отношению силы поверхностного натяжения к длине отрезка, на котором действует эта сила: σ =F/L (9.22)

Поверхностное натяжение зависит от температуры. Вдали от критической температуры значение его убывает линейно при увеличении температуры. Снижения поверхностного натяжения можно достигнуть введением в жидкость поверхностно-активных веществ, уменьшающих энергию поверхностного слоя.

§ 9.8. СМАЧИВАНИЕ И НЕСМАЧИВАНИЕ. КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

На границе соприкосновения различных сред может наблюдаться смачивание или несмачивание.

Рассмотрим поведение капли жидкости на поверхности другой, не смешивающейся с ней жидкости (рис. 9.9) и капли жидкости на поверхности твердого тела (рис. 9.10 и 9.11). На поверхностях раздела каждых двух сред (1 и 3, 2 и 1, 3 и 2) действуют силы поверхностного натяжения. Если эти силы разделить на длину окружности капли, то получим соответственно σ₁₃, σ₂₁, σ₃₂.

Угол θмежду смачиваемой поверхностью и касательной к поверхности жидкости, отсчитываемый через нее, называют краевым. За меру смачивания принимают величину cos θ= (σ₃₂ – σ₁₃)/σ₂₁ (9.23)

Если σ₃₂ > σ₁₃ (рис. 9.10), т.е. силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами твердого тела и газа, то θ < π/2 и жидкость смачивает твердое тело, поверхность которого в этом случае называется гидрофильной В случае σ₃₂ < σ₁₃ (рис. 9.11) θ > π/2, жидкость не смачивает тела, поверхность его в этом случае называют гидрофобной. Несмачивающая жидкость не протекает через малые отверстия в твердом теле. При σ₃₂ – σ₁₃ = σ₂₁ межмолекулярные силы полностью скомпенсированы (θ= 0). В этом случае равновесие не может наступить и капля растекается по поверхности твердого тела до тех пор, пока не покроет всей ее поверхности или не образуется мономолекулярный слой. Такой случай является идеальным смачиванием. К нему с некоторым приближением можно отнести растекание спирта или воды по чистой поверхности стекла, нефти по воде и пр.

Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Др. Поверхностный слой подобен упругой оболочке, например резиновой пленке. Результирующая сил поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнутости (к центру кривизны). В случае сферической поверхности, радиус кривизны которой г, дополнительное давление Δp=2 σ/r (9.24)

Искривление поверхности (мениск), в частности, возникает в узких (капиллярных) трубках в результате смачивания или несмачивания жидкостью их поверхности. При смачивании образуется вогнутый мениск (рис. 9.12). Силы давления направлены от жидкости наружу, т.е. вверх, и обусловливают подъем жидкости в капилляре. Это равновесное состояние, показанное на рисунке, наступает тогда, когда давление pgh уравновесит Δр.

Δp=2 σ cosθ /R (9.25)

pgh=2 σ cosθ /R

h=2 σ cosθ /(Rpg) (9.26)

В случае несмачивания cos θ < 0 и формула (9.26) покажет высоту опускания жидкости в капилляре.

Капиллярные явления определяют условия конденсации паров, кипения жидкостей, кристаллизации и т.п. Так, например, на молекулу пара (рис. 9.13; точка А) над вогнутым мениском жидкости действует больше молекул жидкости и, следовательно, большая сила, чем при выпуклом мениске. Это хорошо видно из рис. 9.13, на котором пунктиром условно показана сфера молекулярного действия, а штрихом — объемы жидкости, молекулы которых притягивают выделенную молекулу пара. В результате этого возникает капиллярная конденсация в смачиваемых тонких трубках даже при сравнительно малой влажности воздуха. Благодаря этому пористые вещества могут задерживать значительное количество жидкости из паров, что приводит к увлажнению белья, ваты в сырых помещениях, затрудняет сушку гигроскопических тел, способствует удержанию влаги в почве и т.п. Наоборот, несмачивающие жидкости не проникают в пористые тела. С этим связана, например, непроницаемость для воды перьев птиц, смазанных жиром.

Рассмотрим поведение пузырька воздуха, находящегося в капилляре с жидкостью. Если давление жидкости на пузырек с разных сторон одинаково, то оба мениска пузырька будут иметь одинаковый радиус кривизны (рис. 9.14, а). При избыточном давлении с одной из сторон, например при движении жидкости, мениски деформируются, изменятся их радиусы кривизны (рис. 9.14, б), дополнительное давление Δр с разных сторон станет неодинаковым. Это приведет к такому воздействию на жидкость со стороны пузырька воздуха (газа), которое затруднит или прекратит движение жидкости. Такие явления могут происходить в кровеносной системе человека.

Попавшие в кровь пузырьки воздуха могут закупорить мелкий сосуд и лишить кровоснабжения какой-либо орган. Это явление, называемое эмболией, может привести к серьезному функциональному расстройству или даже летальному исходу. Так воздушная эмболия может возникнуть при ранении крупных вен: проникший в ток крови воздух образует воздушный пузырь, препятствующий прохождению крови. Пузырьки воздуха не должны попадать в вены при внутривенных вливаниях.

Газовые пузырьки в крови могут появиться у водолазов при быстром подъеме с большой глубины на поверхность, у летчиков и космонавтов при разгерметизировании кабины или скафандра на большой высоте (газовая эмболия). Это обусловлено переходом газов крови из растворенного состояния в свободное — газообразное в результате понижения окружающего атмосферного давления. Ведущая роль в образовании газовых пузырьков при уменьшении давления принадлежит азоту, так как он обусловливает основную часть общего давления газов в крови и не участвует в газообмене организма и окружающего воздуха.

§ 9.5. ЛАМИН АРНОЕ И ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА

Рассмотренное ранее течение жидкости является слоистым, или ламинарным. Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение и движение становится вихревым, или турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте беспрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным.

Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса: Re= p_ж*υ*D/η

где р_ж — плотность жидкости; D — диаметр трубы.

Если число Рейнольдса больше некоторого критического (Rе >Rе_кр), то движение жидкости турбулентное. Например, для гладких цилиндрических труб Rе_кр ≈ 2300.

Так как число Рейнольдса зависит от вязкости и плотности жидкости, то удобно ввести их отношение, называемое кинематической вязкостью: ν= η/ p_ж

Используя это понятие, число Рейнольдса можно выразить в виде

Re= υ*D/v (9.17)

Единицей кинематической вязкости является квадратный метр на секунду (м²/с), в системе СГС — стоке (Ст); соотношение между ними: 1 Ст = 10^-4 м²/с.

Кинематическая вязкость полнее, чем динамическая, учитывает влияние внутреннего трения на характер течения жидкости или газа. Так, вязкость воды приблизительно в 100 раз больше, чем воздуха (при 0°С), но кинематическая вязкость воды в 10 раз меньше, чем воздуха, и поэтому вязкость сильнее влияет на характер течения воздуха, чем воды.

Как видно из (9.17), характер течения жидкости или газа существенно зависит от размеров трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольших скоростях может возникнуть турбулентное движение. Так, например, в трубке диаметром 2 мм течение воды становится турбулентным при скорости более 127 см/с, а в трубе диаметром 2 см — уже при скорости примерно 12 см/с (температура 16°С). Течение крови по такой трубе стало бы турбулентным при скорости 50 см/с, но практически в кровеносных сосудах диаметром 2 см турбулентное течение возникает даже при меньшей скорости.

Течение крови в артериях в норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов. При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, число Рейнольдса может превышать критическое значение и движение станет турбулентным.

Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости, что в случае крови приводит к добавочной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболеваний. Этот шум прослушивают на плечевой артерии при измерении давления крови.

Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Однако при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополнительную работу дыхательных мышц.

Число Рейнольдса является критерием подобия. При моделировании гидро- и аэродинамических систем, в частности кровеносной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и натура, в противном случае не будет соответствия между ними. Это относится также и к моделированию обтекания тел при движении их в жидкости или газе. Из (9.17) видно, что уменьшение размеров модели по сравнению с натурой должно быть скомпенсировано увеличением скорости течения или уменьшением кинематической вязкости модельной жидкости или газа.

§ 9.2. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ. ФОРМУЛА ПУАЗЕЙЛЯ

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен. Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении трубы показано на рис. 9.2.

Для определения зависимости υ— f(r) выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины L (рис. 9.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления p₁ и p₂ соответственно, что обусловливает результирующую силу F= p₁πr² – p₂ πr² = (p₁-p₂)* πr² (9.2)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная Fтр= η* dυ/dx * S= η* dυ/dr * 2πr²L (9.3)

где S = 2πr²L — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F=Fтр. Подставляя в это равенство (9.2) и (9.3), получаем (p₁-p₂)* 2πr² = -η* dυ/dr * 2πr²L (9.4)

Знак “-“в правой части уравления обусловлен тем, что dυ/dr< 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (9.4) имеем dυ= -p₁-p₂/2Lη * rdr

Проинтегрируем это уравнение: ∫^υ₀ dυ= - p₁-p₂/2Lη ∫^r_R rdr (9.5)

здесь нижние пределы соответствуют слою, <прилипшему> к внутренней поверхности трубы (υ = 0 при r — R), а верхние пределы — переменные. Решая (9.5), получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 9.2): υ= p₁-p₂/4Lη * (R² – r²) (9.6)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0): υmax = (p₁-p₂)*R²/(4Lη)

Установим, от каких факторов зависит объем у жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя (рис. 9.3, 6) dS=2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью υ. За 1 с слой переносит объем жидкости dQ =υdS= υ*2πrdr (9.7)

Подставляя (9.6) в (9.7), получаем dQ = π* p₁-p₂/2Lη * (R² – r²)* rdr

откуда интегрированием по всему сечению находим Q= π* p₁-p₂/2Lη ∫^R₀ (R² – r²)rdr= πR⁴/8η * p₁-p₂/L (9.8)

Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля.

Как видно из (9.8), при заданных внешних условиях (р^ и р₂) через трубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы. Сильная зависимость ф ^от радиуса обусловливается изменением не только объема, но и относительной доли слоев, расположенных вблизи поверхности трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (9.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока – объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электрическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению: X=8ηL/(πR⁴ ) (9.9)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина L трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволяет в некоторых случаях использовать правило нахождения электрического сопротивления последовательного и параллельного соединений проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соединенных последовательно (рис. 9.4, а) и параллельно (рис. 9.4, б), вычисляется по формулам X=X₁+X₂+X₃ (9.10)

X= [1/X₁ + 1/X₂ + 1/X₃]^-1 (9.11)

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменимградиентом давления dр/d1 и тогда Q= πR⁴/8η * dp/dL (9.12)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, манометрические трубки (рис. 9.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорционально L; dр/d1 = const. Так как Q одинаково, то градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб приближенно показан на рис. 9.5, б.

§ 9.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ. КЛИНИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ КРОВИ

Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, а приборы, используемые для таких целей, — вискозиметрами. Рассмотрим наиболее распространенные методы вискозиметрии.

Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.

Капиллярный вискозиметр применяется для определения вязкости крови.

Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от значений 10^-5 Па*с, свойственных газам, до значений 10⁴ Па*с, характерных для консистентных смазок.

Метод падающего шарика используется в вискозиметрах, основанных на законе Стокса. Из формулы (9.15) находим η=2(p-p_ж)*r2g/(9υ₀)

Таким образом, зная величины, входящие в правую часть этой формулы, и измеряя скорость равномерного падения шарика, можно найти вязкость данной жидкости.

Предел измерений вискозиметров с движущимся шариком составляет 6*10⁴ - 250 Па*с.

Применяются также ротационные вискозиметры, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, например цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ротора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы, действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.

С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость жидкостей в интервале 1 – 10⁵ Па*с, т.е. смазочных масел, расплавленных силикатов и металлов, высоковязких лаков и клеев, глинистых растворов и т.п.

В ротационных вискозиметрах можно менять градиент скорости, задавая разные угловые скорости вращения ротора. Это позволяет измерять вязкость при разных градиентах и установить зависимость η= f(dυ/dх), которая характерна для неньютоновских жидкостей.

В настоящее время в клинике для определения вязкости крови используют вискозиметр Гесса с двумя капиллярами. Схема его устройства дана на рис. 9.7, в. Два одинаковых капилляра 0161 и 02&2 соединены с двумя трубочками 1 и 2. Посредством резиновой груши или втягивая воздух ртом через наконечник 3, поочередно благодаря тройнику с краном 4 заполняют капилляр a₁b₁ и трубочку 1 до- отметки 0 дистиллированной водой, а капилляр а^Ь^ и трубочку 2 до отметки 0 — исследуемой кровью. После этого теми же способами одновременно перемещают обе жидкости до тех пор, пока кровь не достигнет цифры 1, а вода — другой отметки в своей трубке. Так как условия протекания воды и крови одинаковы, то объемы наполнения трубок 1 и 2 будут различными вследствие того, что вязкости этих жидкостей неодинаковы. Хотя кровь и является неньютоновской жидкостью, используем с некоторым приближением формулу Пуазейля (9.8) и запишем очевидную пропорцию: Q_в/Q_к= η_к/η_в (9.16)

Учитывая, что общий объем V жидкости при равномерном ее течении связан с Q формулой V — Qt, где t — время, вместо (9.16) получаем V_в:V_к = η_к/η_в

где V_к — объем крови в трубке 2 от отметки 0 до отметки 1; V_в -объем воды в трубке 1 от отметки 0 до отметки, полученной при измерении; щ_к и щ_ъ — соответственно вязкость крови и воды. Отношение вязкости крови и вязкости воды при той же температуре называют относительной вязкостью крови.

В вискозиметре Гесса объем крови всегда одинаков, а объем воды отсчитывают по делениям на трубке 1, поэтому непосредственно получают значение относительной вязкости крови. Для удобства отсчета сечения трубок 1 и 2 делают различными так, что, несмотря на разные объемы крови и воды, их уровни в трубках будут примерно одинаковы.

Вязкость крови человека в норме 4-5 мПа-с, при патологии колеблется от 1,7-22,9 мПа-с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. При тяжелой физической работе увеличивается вязкость крови. Некоторые инфекционные заболевания увелич.вязкость, др.же, напр., брюш.тиф и туберкулез – умен.

§ 9.1. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА. НЬЮТОНОВСКИЕ И НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками (рис. 9.1), из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью v_В.Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т.д. Слой, <прилипший> ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости ( v₁<v₂<v_з <... и т.д), максимальная скорость % будет у слоя, который <прилип> к верхней пластинке.

Слои воздействуют друг на друга. Так, например, третий слой стремится ускорить движение второго, но сам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и т.д. Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разделение на слои условно, то Т принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, отнесенного к длине в направлении, перпендикулярном скорости, т.е. от dυ/вч — градиент скорости (скорость сдвига): Fтр= η* dυ/вч * S (9.1)

Это уравнение Ньютона. Здесь г) — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения или динамической связкостью (или просто вязкостью). Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).

Единицей вязкости является паскалъ-секунда (Па-с). В системе СГС вязкость выражают в пуазах (П): 1 Па-с = 10 П.

Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента скорости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (9.1) и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (9.1), относят к неньютоновским. Иногда вякость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютоновской — аномальной

Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению молекул или частиц пространственные структуры, являются неньютоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей. Увеличение вязкости происходит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютоновской, вязкости, но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью.

§ 26.8. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ

И ПОЛЕЗНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ МИКРОСКОПА.

ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ АББЕ

Из формулы (26.15) можно сделать вывод, что при надлежащем выборе /1 и /2 увеличение микроскопа будет сколь угодно большим. Однако на практике биологи, врачи и другие специалисты, работающие г микроскопами, редко используют увеличения, превышающие 1500—2000. Чтобы уяснить причины такого положения, ознакомимся с понятиями “предел разрешения”, “разрешающая способность” и “полезное увеличение микроскопа”

Предел разрешения — это такое наименьшее расстояние между двумя точками предмета, когда эти точки различимы, т.е. воспринимаются в микроскопе как две точки.

Разрешающей способностью обычно называют способность микроскопа давать раздельные изображения мелких деталей рассматриваемою предмета. Это величина обратна пределу разрешения. Разрешающая способность микроскопа обусловлена волновыми свойствами света, поэтому выражение для предела разрешения можно получить, учитывая дифракционные явления.

Рассмотрим дифракционную теорию разрешающей способности микроскопа, предложенную Э.Аббе.

При освещении прозрачного предмета в микроскоп попадает свет, рассеянный (дифрагированный) объектом. В качестве наиболее простого предмета была взята дифракционная решетка — объект с достаточно определенной структурой.

Пусть решетка D (рис. 26.18) состоит из четырех щелей 1—4. От каждой щели распространяются вторичные волны, на рисунке показан ход пяти лучей от каждой такой волны. Вторичные волны, падающие под одинаковым углом к оптической оси линзы I, соберутся в фокальной плоскости Р. Если разность хода вторичных волн, идущих от соседних щелей и отклоненных на одинаковый угол, равна целому числу длин волн, то в местах, обозначенных точками на плоскости F, появятся главные максимумы (центральный, 1-й, 2-й). Картину, образуемую в фокальной плоскости линзы, называют первичным изображением. Оно содержит определенную информацию о предмете, однако не является изображением в общепринятом понимании.

Собственно изображение, или вторичное изображение (1'—4'), образуется в плоскости I при пересечении вторичных волн, идущих от каждой из щелей. Вторичное изображение создается после первичного, поэтому оно не может содержать большей информации о предмете, чем первичное.

В оптических устройствах, в том числе и в микроскопе, пучки света всегда ограничены, поэтому важно знать, как это повлияет на искажение изображения предмета, какое минимальное количество лучей способно передавать правильную информацию о предмете.

Главные максимумы попарно симметрично располагаются относительно центрального и в некоторой степени дублируют друг друга. Совокупность максимумов, расположенных с одной стороны от центра, вместе с центральным достаточна, чтобы передать информацию о предмете. Следовательно, экранирование лучей, идущих от максимумов, расположенных по другую сторону от центра, лишь уменьшит яркость изображения предмета.

При экранировании в плоскости F лучей от нечетных главных максимумов объективно создаются условия, при которых второй главный максимум играет роль первого, четвертый — второго и т.д., т.е. [см. (24.29)] изображение будет такое же, как и у дифракционной решетки с вдвое меньшим периодом.

Центральный максимум имеет общую структуру для решеток с разным периодом и, следовательно, не содержит информации об особенностях предмета. Поэтому если пропустить лучи только центрального максимума, экранировав все остальные, то вторичное изображение предмета (решетки) не сформируется.

Такого рода опыты с различным ограничением пучков света в плоскости Р проделал Аббе. Он установил, что для соответствия вторичного изображения предмету необходимо по крайней мере, чтобы из первичного изображения проходили дальше лучи центрального и одного из первых главных максимумов.

Реально свет от предмета распространяется к объективу микроскопа в некотором конусе (рис. 26.19, а), который характеризуется угловой апертурой — углом и между крайними лучами конического светового пучка, входящего в оптическую систему⁹. В предельном случае, согласно Аббе, крайними лучами конического светового пучка будут лучи, соответствующие центральному (нулевому) и 1-му главному максимумам (рис. 26.19, б). При этом луч падает на предмет (решетку) под углом щ/2, такой же угол и для первого дифракционного максимума. Из формулы (24.39) при /? = и/2 и α = —u/2 получаем 2c*sin(u/2) = А. (26.17)

В рассмотренной модели предмета (решетка) за предел разрешения 2 следует принять элемент структуры — постоянную дифракционной решетки с, т.е. z - с при указанных а и β. Из (26.17) находим z= 0.5λ/sin (u/2) (26.18)

или, учитывая, что λ = λ ₀/n, и вводя A =n*sin (u/2)

z=0,5 λ₀/А, (26.19)

где А — числовая апертура; п — показатель преломления среды, находящейся между предметом и линзой объектива.

Как видно из формулы (26.19), один из способов уменьшения предела разрешения микроскопа — использование света с меньшей длиной волны. В связи с этим применяют ультрафиолетовый микроскоп, в котором микрообъекты исследуются в ультрафиолетовых лучах. Принципиальная оптическая схема такого микроскопа аналогична схемам обычного микроскопа. Основное отличие заключается, во-первых, в использовании оптических устройств, прозрачных для ультрафиолетового света, и, во-вторых, в особенности регистрирования изображения. Так как глаз непосредственно не воспринимает этого излучения, то употребляются фотопластинки, люминесцентные экраны или электронно-оптические преобразователи (см. раздел седьмой).

Другой способ уменьшения предела разрешения микроскопа — увеличение числовой апертуры, что достигается увеличением как показателя преломления среды между предметом и объективом, так и апертурного угла. В обычных условиях (воздух) показатель преломления равен единице. Угол же u/2 может иметь большие значения — теоретически до 90°. Если этот угол очень велик, то лучи первого максимума могут не попасть в объектив. Так, например, на рис. 26.20 показано, что объектив Об не захватывает лучей, отходящих от точки 1под углом 45°. Чтобы эти лучи попали, надо предмет приблизить к объективу, например в точку 2. Однако расстояние предмета от линзы не может изменяться произвольно, оно постоянно для каждого объектива и приближать предмет нельзя.

Числовая апертура может быть увеличена с помощью специальной жидкой среды — иммерсии — в пространстве между объективом и покровным стеклом микроскопа. В иммерсионных системах по сравнению с тождественными <сухими> системами получают больший апертурный угол (рис. 26.21). В качестве иммерсии используют воду (n = 1,33), кедровое масло (n = 1,515), монобромнафталин (n = 1,66) и др. Для каждой иммерсии специально рассчитывают объектив, и его можно применять только с данной иммерсией.

В современных микроскопах угол и/2 достигает наибольшего значения, равного 70°. С этим углом получают максимальные числовые апертуры и минимальные пределы разрешения.

§ 32.2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА. АКТИВНОСТЬ

Радиоактивный распад — это статистическое явление. Невозможно предсказать, когда распадется данное нестабильное ядро, можно лишь сделать некоторые вероятностные суждения об этом событии. Для большой совокупности радиоактивных ядер можно получить статистический закон, выражающий зависимость нераспавшихся ядер от времени.

Пусть за достаточно малый интервал времени dtраспадается на dN ядер. Это число пропорционально интервалу времени dt, а также общему числу N радиоактивных ядер: dN= -λN*dt (32.8)

где λ — постоянная распада, пропорциональная вероятности распада радиоактивного ядра и различная для разных радиоактивных веществ. Знак <—> поставлен в связи с тем, что dN < 0, так как число нераспавшихся радиоактивных ядер убывает со временем.

Разделим переменные и проинтегрируем (32.8) с учетом того, что нижние пределы интегрирования соответствуют начальным условиям (t = 0, N = N₀, N₀ — начальное число радиоактивных ядер), а верхние — текущим значениям t и N: ∫^N_N dN/N= - λ ∫^t₀ dt, lnN/N₀= -λt. Потенцируя это выражение, имеем N=N₀*e^-^λ^t (32.9)

Это и есть основной закон радиоактивного распада: число радиоактивных ядер, которые еще не распались, убывает со временем по экспоненциальному закону.

На рис. 32.2 изображены кривые 1 и 2, соответствующие разным веществам (λ₁ > λ ₂); начальное число N₀ радиоактивных ядер одинаково.

На практике вместо постоянной распада чаще используют другую характеристику радиоактивного изотопа — период полураспада Т. Это время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер. Естественно, что это определение справедливо для достаточно большого числа ядер. Т=ln2/λ ≈0,69/λ. (32.10)

Работая с радиоактивными источниками, важно знать число частиц или λ-фотоноввылетающих из препарата в секунду. Это число пропорционально скорости распада, поэтому скорость распада, называемая активностью, является существенной характеристикой радиоактивного препарата: A= -dN/dt (32.11)

Используя (32.8) — (32.10), можно найти следующие зависимости для активности: A= -dN/dt= λ N=λ N₀*e^-^λ^t (32.12)

A= N/T * ln2 (32.13)

Таким образом, активность препарата тем больше, чем больше радиоактивных ядер и чем меньше их период полураспада. Активность препарата со временем убывает по экспоненциальному закону.

Единица активности — беккерелъ (Бк), что соответствует активности нуклида в радиоактивном источнике, в котором за 1 с происходит один акт распада.

Наиболее употребительной единицей активности является кюри (Ки); 1 Ки = 3,7-10¹⁰ Бк = 3,7-10¹⁰ с'¹. Кроме того, существует еще одна внесистемная единица активности — резерфорд (Рд); 1 Рд = = 10⁶ Бк = 10⁶ с^-1.

§ 32.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Заряженные частицы и λ-фотоны, распространяясь в веществе, взаимодействуют с электронами и ядрами, в результате чего изменяется состояние как вещества, так и частиц.

Основным механизмом потерь энергии заряженной частицы (α и β) при прохождении через вещество является ионизационное торможение. При этом ее кинетическая энергия расходуется на возбуждение и ионизацию атомов среды.

Взаимодействие частицы с веществом количественно оценивается линейной плотностью ионизации, линейной тормозной способностью вещества и средним линейным пробегом частицы.

Под линейной плотностью ионизации i понимают отношение числа dn ионов одного знака, образованных заряженной ионизирующей частицей на элементарном пути dl, к этому пути: i= dn/dl.

Линейной тормозной способностью вещества S называют отношение энергии dЕ, теряемой заряженной ионизирующей частицей при прохождении элементарного пути dl в веществе, к длине этого пути: S= dЕ/d1.

Средним линейным пробегом заряженной ионизирующей частицы Д является среднее значение расстояния между началом и концом пробега заряженной ионизирующей частицы в данном веществе.

Кроме ионизации и возбуждения β-частицы могут вызывать и другие процессы. Так, например, при торможении электронов возникает тормозное рентгеновское излучение. Бета-частицы рассеиваются на электронах вещества, и их пути сильно искривляются в нем. Если электрон движется в среде со скоростью, превышающей скорость распространения света в этой среде, то возникает характерное черепковское излучение (излучение Черепкова—Вавилова).

При попадании β-частицы в вещество с большой вероятностью происходит такое взаимодействие ее с электроном, в результате которого вместо пары электрон — позитрон образуются два λ-фотона. Этот процесс, схема которого показана на рис. 32.4, называют аннигиляцией. Энергия каждого λ -фотона, возникающего при аннигиляции, должна быть не меньше энергии покоя электрона или позитрона, т.е. не менее 0,51 МэВ.

Несмотря на разнообразие процессов, приводящих к ослаблению β-излучения, можно приближенно считать, что интенсивность его изменяется по экспоненциальному закону, подобному (31.8). В качестве одной из характеристик поглощения β-излучения веществом используют слой половинного поглощения, при прохождении через который интенсивность излучения уменьшается вдвое.

Можно считать, что в ткани организма β-частицы проникают на глубину 10—15 мм. Защитой от β-излучения служат тонкие алюминиевые, плексигласовые и другие экраны. Так, например, слой алюминия толщиной 0,4 мм или воды толщиной 1,1 мм уменьшает вдвое β-излучение от фосфора ³²₁₅Р.

При попадании λ-излучения в вещество наряду с процессами, характерными для рентгеновского излучения (когерентное рассеяние, эффект Комптона, фотоэффект, см. § 31.3), возникают и такие, которые неспецифичны для взаимодействия рентгеновского излучения с веществом. К этим процессам следует отнести образование пары электрон — позитрон, происходящее при энергии ~/- фотона, не меньшей суммарной энергии покоя электрона и позитрона (1,02 МэВ), и фотоядерные реакции, которые возникают при взаимодействии λ-фотонов больших энергий с атомными ядрами. Для возникновения фотоядерной реакции необходимо, чтобы энергия λ-фотонов была не меньше энергии связи, приходящейся на нуклон.

В результате различных процессов под действием λ- излучения образуются заряженные частицы; следовательно, λ -излучение также является ионизирующим.

Ослабление пучка λ -излучения в веществе обычно описывают экспоненциальным законом (31.8). Линейный (или массовый) коэффициент поглощения можно представить как сумму соответствующих коэффициентов поглощения, учитывающих три основных процесса взаимодействия — фотоэффект, Комптон-эффект и образование электрон-позитронных пар.

Эти основные процессы взаимодействия происходят с разной вероятностью, которая зависит от энергии λ-фотонов. Как видно из рисунка, при малых энергиях основную роль играет фотоэффект, при средних — Комптон-эффект и при энергиях, больших 10 МэВ, — процесс образования пары электрон — позитрон.

Экспоненциальный закон ослабления пучка λ-фотонов выполняется приближенно, особенно при больших энергиях. Это обусловлено вторичными процессами, возникающими при взаимодействии λ-иэлучения ^с веществом. Так, например, электроны и позитроны обладают энергией, достаточной для образования новых λ-фотонов в результате торможения и аннигиляции.

Поток нейтронов тоже является ионизирующим излучением, так как в результате взаимодействия нейтронов с ядрами атомов образуются заряженные частицы и λ-излучение.