Некоторые виды случайных событий

Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, проявляющиеся при изучении результатов таких экспериментов, конкретный резуль­тат которых до их проведения невозможно с определенностью предсказать. Например, при однократном подбрасывании моне­ты нельзя заранее определить, выпадет герб или цифра. Однако результаты многочисленных экспериментов свидетельствуют, что герб и цифра выпадают примерно в одинаковом количестве. Уже этот простейший пример показывает, что, несмотря на случай­ный характер результата каждого эксперимента, могут существо­вать некоторые закономерности для результатов множества ана­логичных экспериментов.

Случайные события

Пусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, ис­пользуемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Посколь­ку в теории вероятностей речь идет о таких испытаниях, исход которых не может быть однозначно предопределен, то соответству­ющие события называют случайными событиями. Например, слу­чайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, наличие (как, впрочем, и отсутствие) некоторого препа­рата в конкретной, наугад выбранной аптеке в данный момент времени. Иными словами, случайное событие - это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д.

Некоторые виды случайных событий

Определение. Событие называется достоверным в данном испы­тании, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Например, достоверным является событие, состоящее в извле­чении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находят­ся только упаковки аспирина.

Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания.

Например, невозможным является событие, состоящее в из­влечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором на­ходятся только упаковки анальгина.

Строго говоря, как невозможное, так и достоверное события не являются случайными, поскольку их соответственно ненаступ­ление и наступление предопределены условиями испытания.

Любое же из действительно случайных событий, т.е. событий, происходящих в результате испытания не наверняка, по мере возможности своего осуществления находится между событиями невозможными и достоверными.

Определение. Случайные события А₁, А₂,..., А_п называются несовместными, если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечис­ленных событий.

Например, если событие А, состоит в выпадении цифры / при однократном бросании игрального кубика, событие А₂ в выпадении цифры 2, и т.д., то события А₁, А₂,..., А_е являются несовместными, поскольку осуществление любого из них исклю­чает наступление остальных событий в этом испытании.

Определение. Случайные события А₁, А₂,..., А_п называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления при этом других из пе­речисленных событий.

Например, если событие А₁ состоит в выпадении цифры 1 при однократном бросании игрального кубика, а событие А₂ в выпадении нечетного числа очков, то эти два события — совме­стные, поскольку цифра 1 является нечетным числом.

Определение. Случайное событие В называется благоприят­ствующим для события А, если при наступлении события В обязательно наступает событие А.

В качестве примера рассмотрим корзину, в которой находятся 10 одинаковых по форме шаров (7 — белого цвета, 3 — красного) с указанными на них номерами от 1 до 10, причем все шары с четными номерами - белые. Из корзины наугад извлекают один шар. При этом событие В, состоящее в извлечении шара с чет­ным номером, является благоприятствующим для события А, со­стоящего в извлечении белого шара, поскольку если в результате испытания извлечен шар с четным номером, то он обязательно белый.

Определение. Элементарными событиями (элементарными исходами) испытания называются все возможные результаты испытания, взаимно исключающие друг друга.

Например, несовместные события А₁, А.₂,..., А₆, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, представляют собой элементарные события для данного испытания.

Определение. Совокупность случайных событий А₁, А₂,..., А_п называется полной группой событий для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности.

Например, случайные события, состоящие соответственно в извлечении упаковки анальгина (событие А ₁,), аспирина (событие А₂) и амидопирина (событие А₃), составляют полную группу случайных событий для испытания, в котором из коробки, содер­жащей только такие упаковки, извлекают наугад одну.

Определение. Случайные события А₁, А₂,..., А_п называются равновозможными для данного испытания, если не существует никаких объективных причин, вследствие которых какие-либо из этих событий имели большие возможности для осуществления, чем другие.

Например, элементарные события А₁, А₂,..., А₆, состоящие в выпадении соответственно цифр 1, 2, 3 и т. д. при бросании игрального кубика, являются равновозможными для данного ис­пытания, поскольку нет никаких оснований с большей уверенно­стью ожидать выпадения какой-либо одной грани игрального кубика, чем любой другой.