Если случайные события А и В являются несовместными событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения.
Теорема 8.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) (8.5)
Пример 8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаковка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина.
Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (вероятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна: Р(А) = 2/10=0,2
Аналогично вероятность извлечения упаковки анальгина (вероятность события В) равна: Р(В) =3/10=0,3
Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой 8.1 следует сложить найденные вероятности: Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5.
Определение. Случайное событие Л, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, противоположным событию А.
Для противоположных событий справедлива следующая теорема.
Теорема 8.2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А равна единице: P(A)+P(Ā)=1 (8.6)
Например, вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании монеты равна 0,5, вероятность выпадения цифры также равна 0,5. Поскольку выпадение цифры представляет собой случайное событие, состоящее в невыпадении герба, то выпадение цифры является событием А, противоположным событию А (выпадение герба). В то же время сумма вероятностей этих событий действительно равна единице.
Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли при этом другое событие.
Например, при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, являются независимыми событиями, поскольку вероятность события А равна 0,5 и не зависит от того, осуществилось ли при этом событие В, и наоборот, вероятность события В также равна 0,5 и не зависит от того, произошло ли при этом событие А.
Если случайные события Л и В являются независимыми событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.
Теорема 8.3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B) (8.7)
Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасываемых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)* Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25.
Определение. Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.
Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).
Если случайные события Л и 6 являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для зависимых событий.
Теорема 8.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) (8.8)
Пример 8.3. В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми.
Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первый извлеченный шар окажется белым. Вероятность этого события в соответствии с классическим определением вероятности равна: P(A)=2/5=0,4
поскольку всего в корзине 5 шаров, 2 из которых белые.
Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлеченный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5.
Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в результате чего найдем искомую вероятность:
Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.
Случайные величины
Определение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать, какое именно.
Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д.
Случайными величинами являются также температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и т. д.
Однако с математической точки зрения между такими случайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X,) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (величина Х2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X1, можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6,...), тогда как для величины Х2 этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка [hmin, hmax], где hmin и hmax — соответственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита - X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины X обозначают следующим образом: х1, х2, х3 и т. д.
