Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Как уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине.

На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из ко­торых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение (стандарт).

Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто ис­пользуется также обозначение «ц») дискретной случайной ве­личины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: М(Х)= μ= ∑x_ip_i= x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n (8.13)

где индекс г принимает значения 1, 2, 3,..., п.

Пример 8.7. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 8.3 (см. при­мер 8.6).

Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (8.13), по­лучим:

μ = 8*0,2 + 9*0,1 + 10*0,3+ 11*0,2+ 12*0,2=10,1.

Основной смысл математического ожидания дискретной слу­чайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испыта­ний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее ариф­метическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной слу­чайной величины.

Некоторые свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: М(С) = С.

2. Математическое ожидание произведения постоянного мно­жителя на дискретную случайную величину равно произведе­нию этого постоянного множителя на математическое ожида­ние данной случайной величины: М(kХ)=k*M(X)

3. Математическое ожидание суммы двух случайных вели­чин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М(Х +Y) = М(Х) + М(Y).

Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математическо­го ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины.

Определение. Дисперсией D(Х) (часто используется также обо­значение «σ²») дискретной случайной величины называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(Х) = σ ² =М((Х- μ )²). (8.14)

Следует, однако, отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(Х) = σ ² =М( X²)-μ ² (8.15)

Пример 8.8. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбран­ной группе, используя данные табл. 8.3, а также результаты примера 8.7.

Решение. Используя данные, приведенные в табл. 8.3, вычис­лим сначала математическое ожидание величины X²:

M(X²)= ∑x_i²p_i= x₁²p₁+ x₂²p₂+ …+x_n²p_n=64*0,2 + 81*0,1 + 100*0,3 + 121*0,2 + 144*0,2 = 103,9.

Подставляя это значение, а также найденное в примере 8.7 значение математического ожидания в формулу (8.15), получим:σ²=103,9-10,1² = 1,89.

Некоторые свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:D(C)=0

2. Дисперсия произведения постоянного множителя Ь на дис­кретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX)=k²*D(X)

Как следует из определения дисперсии дискретной случайной величины, ее размерность равна квадрату размерности самой случайной величины. Например, размерность дисперсии, вычис­ленной в примере 8.8, есть «студент²».

Наряду с дисперсией в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания часто ис­пользуют ее среднее квадратическое отклонение (иногда назы­ваемое стандартным отклонением или просто стандартом), размерность которого совпадает с размерностью случайной вели­чины.

Определение. Средним квадратическим отклонением диск­ретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: σ(X)= √D(X) (8.16)

Пример 8.9. Вычислить среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, определяемой как число сту­дентов в наугад выбранной группе (см. пример 8.6), используя результаты примера 8.8.

Решение. Подставляя величину дисперсии, найденную в примере 8.8, в формулу (8.16), найдем искомое среднее квадра­тическое отклонение:

σ (Х) =√1,89≈1,37.