Дифференциальным уравнением называют уравнения, содержащие не неизвестные числа х, у, и так далее, а
Неизвестную функцию у(х),
независимую переменную - х и производные от функции у(х) - y'(х), у''(х) и более высокие производные порядка (n).
В общем случае дифференциальное уравнение записывают в виде
f{х,у(х),y'(х),... y(n)(х)} = 0.
Например уравнение х + у*у' = 4.
В простейшем случае дифференциальное уравнение содержит только саму производную
Y’ = 10
Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию Y(x), которая обращает исходное уравнение в тождество.
Последнее уравнение можно решить - простым интегрированием - иными словами необходимо записать первообразную функцию для постоянной величины. Это будет функция Y = 10x + С. Действительно производная от (10x + С)’= 10.
10 тождественно равно 10.
Основной закон механики в физике по своей математической сути является дифференциальным уравнением относительно координаты тела х(t). Так как ускорение а(t) = V'(t) = x ''(t) - является первой производной от скорости и второй производной от координаты, то имеем: x''(t) =ΣF / m = mg / m = 9,8 = 10.
(Для свободного падения под действием силы тяжести x''(t) = g)
Именно интегрированием получаются основные кинематические формулы…
| ………………………………………… |
| ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… |
Для колебания груза на пружине
m*x''(t) = - k*x(t).
Для тела падающего в среде с силой сопротивления
m*V'(t) = mg - 6*π*η*r*V(t).
Более сложный тип уравнения y’ = f(x)
В таком случае решение также находится прямым интегрированием… Y(x) =∫ f(x)dx = F(x) + C.
Например: x3*y' = 7.
Выражая отсюда y' имеем y' = 7*x-3. Чтобы найти y(x) надо, по сути, найти интеграл
∫ 7*x-3 dx = - 7*(х -2) / 2 + С.
Таким образом, найденная функция y(x) и есть решение дифференциального уравнения.
Могут быть два вида решений: общее и частное решение. В последнем примере y = - 7*(х -2) / 2 + С - это общее решение. Оно содержит произвольную постоянную С (причем число произвольных постоянных соответствует порядку дифференциального уравнения).
Частное решение находят из общего решения путем подстановки в общее решение НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ типа y(x0) = y0.
Общее решение дифференциального уравнения соответствует множеству функций F(x), в которые входит произвольная постоянная С.
Частное решение - это какая то одна функция, график которой проходит через точку на плоскости XY, заданную начальными условиями.
Решим более сложный пример:
x*y*y' = 3.
Приведем его к виду:
g(y)dy = f(x)dx,
чтобы было можно проинтегрировать и левую и правую части!
Такой метод и называется методом разделения переменных.
В случае если уравнение явно содержит производную y' необходимо умножить обе части уравнения на dx и учесть, что y'dx это дифференциал функции dy (y'dx = dy).
Тогда получим: x*y*dy = 3* dx.
Теперь следует разделить правую и левую части на x: y*dy = 3* dx/х. Так получаются выражения, которые можно интегрировать: ∫y*dy = ∫3* dx/х. Общее решение будет: y = (6 Lnx + C)1/2.
Введение в статистику
Случайным событием называют событие, которое может произойти или нет в зависимости от множества случайных факторов, которые учесть практически невозможно.
Вероятностью такого события называют отношение числа наблюдений, в которых это событие произошло (m) к общему числу испытаний (n):
P = m/n.
Число испытаний при этом должно быть достаточно большим.
Приведите численный пример на иллюстрацию данного определения.
Так как ни n, ни m не могут быть отрицательными, причем всегда n > m, то вероятности любого события заключается в интервале
0 ≤ P ≤ 1.
Вероятность невозможного события равна 0, достоверного события равна 1.
Для попарно несовместимых равновероятных событий
Р = 1/К,
где К - число возможных исходов.
Выпишите и проиллюстрируйте теоремы сложения и умножения вероятностей, дайте понятие условной вероятности………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
