Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если и – линейно независимые решения уравнения (2.3), то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство. То, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решение будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при : ,

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

 

Построение общего решения ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами в случае

13. простых корней характеристического уравнения (случай D>0) (c док-вом).

14. кратных корней характеристического уравнения (случай D=0) (c док-вом).

15. комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (случай D<0) (c док-вом).

Дано лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами (5.1), где , . Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это метод, который называется методом Эйлера, состоит в том, что частные решения ищутся в виде .

Подставляя эту функцию в уравнение (5.1), после сокращения на , получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим: (5.2)

Функция будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2). В зависимости от величины дискриминанта возможны три случая.

1. . Тогда корни характеристического уравнения различны: . Решения и будут линейно независимыми, т.к. и общее решение (5.1) можно записать в виде .

2. . В этом случае и . В качестве второго линейно независимого решения можно взять функцию . Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1). Действительно, , . Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим

или , т.к. и .

Частные решения и линейно независимы, т.к. . Следовательно, общее решение (5.1) имеет вид:

или .

3. . В этом случае корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: , где , . Можно проверить, что линейно независимыми решениями уравнения (5.1) будут функции и . Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет, например, функция y₁. Действительно, , . Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим

.

Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю. Действительно, ,

. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично нетрудно убедиться в том, что и есть решение уравнения (5.1). Поскольку , то общее решение будет иметь вид: .

16. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ II-го порядка (с док-вом).

Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка f(x) (6.1)представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2)и любого частного решения лнду (6.1).

Доказательство. Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим в уравнение (6.1): f(x). Это равенство является тождеством, т.к. и f(x). Следовательно, есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: , (6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде , где и – линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом: и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде: или (6.4)

Произвольные постоянные и определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т.к. определитель этой системы = есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при , а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянные и из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение , мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

 

17. Построение частного решения ЛНДУ II-го порядка в случае правой части вида

Пусть в уравнении (6.1) коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид: f(x) (7.1) где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:

1. f(x) , где – многочлен степени , причем некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.

а) Если число не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то частное решение записываем в виде: , где – неопределенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.

б) Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде: , где – неопределенные коэффициенты.

 

18. f(x) , где и - многочлены степени и соответственно, причем один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.

А) Если число не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то вид частного решения будет: , (7.2) где – неопределенные коэффициенты, а .

Б) Если число является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1) кратности , то частное решение лнду будет иметь вид: , (7.3) т.е. частное решение вида (7.2) надо умножить на . В выражении (7.3) - многочлены с неопределенными коэффициентами, причем их степень .

 

19. Метод вариации для решения ЛНДУ II-го порядка (метод Лагранжа).

Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.

Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:

, (8.1)

где – линейно независимые на некотором интервале X решения лоду, а - произвольные постоянные. Будем искать частное решение лнду в форме (8.1), считая, что – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от : . (8.2) Продифференцируем равенство (8.2): . (8.3)

Подберем функции и так, чтобы выполнялось равенство: . Тогда вместо (8.3) будем иметь:

. (8.4)

Продифференцируем это выражение еще раз по . В результате получим: . (8.5) Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка f(x):

f(x)

Или f(x). (8.6)

Так как - решения лоду , то последнее равенство (8.6) принимает вид: f(x).

Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если функции и удовлетворяют системе уравнений:

(8.7)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на X решений соответствующего лоду, то он не обращается в ноль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдем и : и . Интегрируя, получи , , где – произв. пост.

Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного уравнения: .

 

Ряды

1. Числовые ряды. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (с док-вом).

Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись . Или .Числа называют членами ряда; , называется общим членом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n =1, n =2, n =3, … должны получаться члены ряда .

Пусть дан ряд (18.1.1). Составим из его членов конечные суммы, называемые частичными суммами ряда:

Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при , то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Если не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при : Доказательство. Если , то и , но , следовательно .

С проверки выполнения условия надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это условие необходимо, но не достаточно для сходимости ряда: общий член гармонического ряда (18.1.2) , однако этот ряд расходится.

Определение. Остатком ряда после n -го члена называется ряд .

Св-во 1. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Доказательство. Пусть - частичные суммы ряда (18.2.1); обозначим k -ую частичную сумму остатка : . Тогда . Устремим , считая n фиксированным числом. Ряд (18.2.1) сходится, т.е. существует конечный , следовательно существует конечный предел , т.е. остаток сходится. Обратное утверждение доказывается также. Так как , то из существования конечного предела следует существование конечного предела , т.е. из сходимости остатка следует сходимость ряда. Т.е. отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или добавление в его начало нескольких новых членов не влияет на сходимость ряда.

Св-во 2. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

Доказательство. Пусть S - сумма исходного ряда (18.2.1), - сумма его остатка. Из равенства следует , т.е. . Отсюда .

Из предыдущего свойства следует, что сходимость ряда определяется сходимостью его остатка, т.е. хвостом ряда, а сумма S ряда, как следует из равенства , о пределяется пределом , т.е. началом ряда.

Св-во 3. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

Доказательство. Частичная сумма ряда есть ; по свойству предела .

Св-во 4. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать; ряд также сходится, и его сумма равна .

Доказательство и этого свойства - прямое следствие свойств пределов для частичных сумм: .

 

2. Гармонический ряд. Ряды Дирихле.

Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: для . Для таких рядов частичная сумма является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов: