Дифференциальное уравнение вида 
, где 
, называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что 
, разделим обе части уравнения Бернулли на 
. В результате получим: 
(8.1) Введем новую функцию 
. Тогда 
. Домножим уравнение (8.1) на 
и перейдем в нем к функции z(x): 
, т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение 
, получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При 
добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки 
, а применяя метод Бернулли.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.
Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество 
(9.2).
Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что 
и 
.
Действительно, поскольку 
, то 
(9.3), где 
- произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y: 
. Но , следовательно, 
.Положим 
и тогда 
.Итак, построена функция 
, для которой 
, а 
.
Интегрирующий множитель.
Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение
µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.
Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.
Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то 
.
Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: 
(10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω: 
(10.2), где 
, т. е. дробь является функцией только от ω.
Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель 
, с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия: 
, 
или 
, 
.
10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: 
, (2.1)
где 
, 
, 
и 
– заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a0(x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: 
(2.2)
Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям 
, 
, если на рассматриваемом промежутке функции 
, 
и 
непрерывны. Если 
, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.
Определение. Линейной комбинацией функций 
называется выражение 
, где 
– произвольные числа.
Теорема. Если 
и 
– решение лоду 
, (2.3) то их линейная комбинация 
также будет решением этого уравнения.
Доказательство. Поставим выражение в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:
.
Перегруппируем слагаемые: 
.
Поскольку функции и являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при 
, что если 
– решение уравнения (2.3), то 
тоже есть решение этого уравнения. Следствие 2. Полагая 
, видим, что сумма двух решений лоду 
также является решением этого уравнения. Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.
11. 
Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. ЛОДУ II-го порядка.
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1(x), y 2(x), …, yn (x) его n частных решений.
