Тензора–девиатора илипросто девиатора напряжений.

Иногда компоненты девиатора напряжений обозначают:

Шаровой тензор характеризует напряженное состояние всестороннего растяжения – сжатия частицы тела, а девиатор – напряженное состояние её формоизменения.

На каждую частицу тела кроме напряжений действуют объёмные силы:

,

где R_x, R_y, R_z – проекции этих сил на координатные оси. Каждая вектор-сила действует на единицу объёма.

На поверхности тела F на каждую единицу её площади могут действовать распределённые силы:

,

где q_x, q_y, q_z – проекции этих сил.

Если последние действуют на малых площадках контакта поверхности тела, то их, согласно принципу смягчения граничных условий Сен-Венана, заменяют главными вектором и моментом всех сил, действующих на этих малых площадках:

где - радиус – вектор, проведённый из заданной точки (центра приведения сил) на до текущей силы .

В результате действия на тело внешних сил , температуры Т каждая точка В совершает перемещение в новое положение В ’. Это перемещение характеризуется направленным отрезком , т.е. вектором перемещения:

,

где u, v, w – проекции этого перемещения на координатные оси.

Перемещения характеризуют деформацию тела в целом. Например, прогибы точек оси балки V и поворот поперечных сечений, проходящих через эти же точки, характеризуют деформацию балки в целом при её изгибе.

Деформация тела складывается из деформации её материальных (физических) частиц, каждая из которых испытывает удлинения в направлении её рёбер и искажения прямых углов:

между её гранями в каждой из координатных плоскостей (рис. 3.2).

Величины

называют относительными удлинениями или деформациями частиц тела. Половины сдвигов обозначают:

.

Совокупность шести компонентов деформации полностью характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность запишем в виде квадратной матрицы:

(7)

и назовем тензором деформаций Коши.

а) б)

Рис. 3.2

 

Величину

(8)

называют средней деформацией.

Если для рассматриваемого тензора деформация , то он называется тензором-девиатором или просто девиатором деформации.

В общем случае тензор (7) можно разложить на сумму двух тензоров:

Первый из них:

(9)

носит название шарового тензора деформации и описывает объёмную деформацию всестороннего растяжения – сжатия.

Второй тензор:

(10)

представляет собой тензор-девиатор и характеризует деформацию изменения формы частиц тела.

 

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС)

До сих пор мы рассматривли в основном простейшие виды НДС – растяжение – сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию (рис. 3.3).

а) б) в)

Рис. 3.3

 

Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 3.4). При растяжении и сжатии (рис. 3.4, а) осевая и поперечные деформации , определяются законами Гука и Пуассона:

(11)

А) Растяжение б) Кручение

В) Изгиб

Рис. 3.4

 

При плоском чистом сдвиге (рис. 3.4, б) деформация сдвига

(12)

Часто на практике встречаются двухосное растяжение и его комбинация с чистым сдвигом (рис. 3.5).

а) б)

Рис. 3.5

 

В последнем случае состояние называют плоским напряжённым состоянием. Оно возникает в тонкостенных элементах конструкций, таких как плиты (пластины) и оболочки (рис. 3.6).

При двухосном растяжении деформации в направлениях и могут быть найдены на основании законов (11) для одноосного растяжения. Представим , на основании принципа независимости действия сил (напряжений , ) в виде суммы деформаций в каждом из направлений и от этих сил:

(13)

а) б)

Рис. 3.6

 

Для плоского напряжённого состояния (рис. 3.6, б) с учётом (12) получаем:

(14)

 

При трёхосном растяжении (рис. 3.7, а) на основании законов (11) аналогичным образом получаем:

(15)