Цель работы: Изучение зависимости амплитуды затухающих колебаний маятника от времени и вычисление характеристик затухающих колебаний.
Описание лабораторной установки и оборудования
Для изучения затухающих колебаний в данной работе используется физический маятник (рисунок 5.1). Его масса, в отличие от математического маятника, не сосредоточена в одной точке, а распределена по объёму тела.
Рис.5.1.
Установка, используемая в работе, состоит из следующих частей:
1 – маятник, состоящий из закругленной алюминиевой пластины и стержня, соединяющего пластину с осью вращения ОО`;
2 – электромагнит, полюсa которого расположены на небольшом расстоянии от плоскости колебаний;
3 – потенциометр, которым можно регулировать напряжение на электромагните и, следовательно, напряжённость создаваемого магнитного поля;
4 – закруглённая линейка (шкала) для измерения амплитуды колебаний маятника.
Данный физический маятник характеризуется величинами:
- момент инерции маятника 
;
- масса маятника 
;
- расстояние 
от центра тяжести маятника С до оси вращения.
Общие сведения Физические основы эксперимента
Отведённый из положения равновесия маятник совершает колебания, амплитуда которых уменьшается со временем из-за действия сил трения и сопротивления воздуха. При включении электромагнита возникает дополнительная сила сопротивления, основанная на явлении электромагнитной индукции. Пластина маятника, двигаясь в магнитном поле, пересекает его силовые линии. При этом в ней наводятся вихревые токи Фуко, которые, в свою очередь, взаимодействуют с полем магнита. Таким образом, возникает тормозящая сила согласно правилу Ленца, пропорциональная скорости движения пластины. Регулируя ток через электромагнит, можно менять величину магнитного поля, а значит и быстроту уменьшения амплитуды колебаний.
Если маятник вывести из положения равновесия, отклонив его на угол α, то действующие на него сила тяжести 
и сила реакции опоры 
образуют результирующую силу 
, которая по модулю равна (см. рисунок 5.2):
.
Это, так называемая, «возвращающая сила», которая при любом смещении маятника направлена к положению равновесия. Момент силы относительно оси ОО`:
. (1)
Знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно смещению маятника.
При движении маятника на него будет действовать сила торможения со стороны магнитного поля, пропорциональная его угловой скорости, и создающая тормозящий момент:
, (2)
где 
- коэффициент сопротивления движению маятника;
- угловая скорость маятника.
Применим основной закон динамики вращательного движения:
, (3)
где 
– угловое ускорение,
- момент инерции маятника,
- суммарный момент сил, действующих на маятник.
Закон (3) в нашем случае с учётом (1) и (2) запишется в виде:
.
При малых 
< 0,175 рад ( < 10º): 
≈ , тогда второй закон динамики можно записать в виде:
. (4)
Введем обозначения: 
и 
.
В результате выражение (4) приобретает вид:
. (5)
Решение уравнения (5) при условии слабого затухания (
)имеет вид:
. (6)
Поскольку смещение х, измеряемое по линейке (шкале), пропорционально углу отклонения маятника, то уравнение (6) можно записать в виде:
, (7)
где 
– амплитуда колебаний в зависимости от времени,
– начальная амплитуда,
– начальная фаза,
– коэффициент затухания,
- частота затухающих колебаний,
– собственная частота колебаний (при отсутствии затухания).
Графики функции (7) для двух разных значений коэффициента затухания 
> 
выглядят следующим образом (рисунок 5.3(а) и рисунок 5.3(б)).
Рис.5.3(а). Рис.5.3(б).
Пунктирные огибающие показывают зависимость амплитуды от времени и описываются формулой:
. (8)
Для 
> > зависимости амплитуды от времени изображены на рисунке 5.4.
Рис.5.4.
Наряду с коэффициентом используют и другие параметры, характеризующие уменьшение амплитуды:
1. Время релаксации: время, в течение которого амплитуда уменьшается в 
=2,7 раз (см. рисунок 5.3 и рисунок 5.4):
. (9)
2. Логарифмический декремент затухания - величина, обратная числу колебаний 
в течение которых амплитуда уменьшается в раз:
, (10)
где 
- период колебания.
3. Добротность - величина, которая определяет уменьшение энергии колеблющегося тела за период колебаний:
. (11)
Из формулы (8) следует, что величина натурального логарифма отношения 
является линейной функцией времени: 
. Заменив 
= 
, получим: 
, или: 
.
Здесь – период колебаний, 
– число колебаний, совершенных к моменту времени .
Графики функций 
изображены на рисунке 5.5 для > > . Из рисунка видно, что 
, где 
- угол наклона прямой на графике.
Рис.5.5.
Порядок выполнения работы и обработки экспериментальных данных
1. Во время первого эксперимента электромагнит отключен (напряжение питания электромагнита 
0 В). Маятник отводят от положения равновесия на величину 
= 6 - 8 см (по заданию преподавателя) и отпускают. Далее один человек считает количество полных колебаний («туда-сюда»), другой фиксирует амплитуду через каждые 5 или 10 колебаний; полученные значения заносятся в таблицу 1. Общее число отсчитываемых колебаний задаётся преподавателем.
2. Измерить время 20 - 30 полных колебаний и записать в соответствующую графу таблицы 1.
3. Повторить пункты 1. и 2. при включенном электромагните, с напряжением 
и 
(например, 
0, 
10 В, 
20 В).
Таблица 1
Экспериментальные данные
| Напряже-ние на электро-магните | Амплитуда | Число колебаний
| , с
| |||||
| 0 В
| 
| |||||||
| ||||||||
| В
|
| |||||||
|
| ||||||||
| В
|
| |||||||
|
|
Обработка результатов:
4. Вычислите периоды колебаний по формуле 
и занесите в таблицу 2.
5. Для каждого измерения вычислите величину 
и занесите в таблицу 1 для трёх серий экспериментов с 
, и . Постройте графики, соответствующие каждой серии экспериментов в координатах 
от (см. рисунок 5.5).
6. На каждой прямой возьмите произвольно 2 точки и вычислите логарифмический декремент затухания по формуле: 
; или найдите , соответствующее 
и вычислите логарифмический декремент затухания по формуле: 
(рисунок 5.5). Результаты занесите в таблицу 2.
7. Вычислите по формулам (9), (10), (11) коэффициент затухания, время релаксации и добротность и занесите в таблицу 2.
8. Проанализируйте, как изменяются характеристики затухающих колебаний в зависимости от силы сопротивления, действующей на маятник, и сделайте вывод.
Таблица 2
Характеристики затухающих колебаний маятника
| Напряжение на электро-магните |
|
| 
|
| 
| 
|
| 0 В
| ||||||
| B
| ||||||
| B
|
Дополнение к лабораторной работе №5
Лабораторный эксперимент по изучению изменения амплитуды затухающих колебаний может быть выполнен на крутильно-баллистическом маятнике (см. описание в лабораторной работе №1, вариант 2). Колебания этого маятника происходит в горизонтальной плоскости под действием момента силы упругости проволоки – оси колебаний, на которой он закреплен:
,
где 
- коэффициент упругости проволоки.
Торможение маятника осуществляется пластиной, которая может погружаться на разную глубину 
в воду.
Описание затухающих колебаний крутильно-баллистического маятника проводится так же, как изложено на страницах 52-56 настоящей инструкции; уравнение колебаний имеет вид (7) и (8).
Лабораторный эксперимент и обработка экспериментальных данных, проводится в последовательности пунктов 1 – 8 (стр….). при этом глубина погружения тормозящей пластины задается преподавателем (обычно 
0 см, 1 см, 2 см, 3 см).
Вопросы для контроля
1. Какие колебания называются гармоническими, свободными, вынужденными, затухающими?
2. Какая система называется физическим маятником, а какая математическим?
3. Почему колебания маятника в данной работе будут затухающими, даже при выключенном электромагните?
4. Запишите уравнения затухающих и незатухающих колебаний, сравните их.
5. Как амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и от числа колебаний?
6. Что такое собственная частота колебаний?
7. Каков физический смысл величин: , , 
, , , , , в этой работе? Как они меняются с ростом 
?
8. Как меняются характеристики затухающих колебаний , , , , , , , если один из параметров данного физического маятника: 
, 
, 
, 
увеличится (либо уменьшится) при фиксированных значениях оставшихся?
9. Для чего, в данной работе, графики строят в логарифмическом масштабе?
Библиографический список
1. Савельев И.В. Курс обшей физики, Т.2. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, §61, §62, §65, §66, §67, §73.
2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2010 – §6.1, §6.2.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. - §140, §141, §142, §146.
