Момент инерции тела 
– это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела массой 
, вращающегося по окружности радиусом 
, момент инерции определяется формулой:
. (1)
В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой 
:
(2)
Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выражение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами . Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции 
каждого из них по формуле (2) и все суммируют:
(3)
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести, определятся:
а) для стержня
. (4)
б) для диска
. (5)
в) для кольца
, (6)
где 
- масса диска;
- радиус диска;
- масса кольца;
- внутренний радиус кольца;
- внешний радиус кольца;
- масса стержня;
– длина стержня.
Момент инерции 
тела относительно произвольной оси определяется суммой момента инерции 
тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния 
между этими осями, согласно теореме Штейнера:
. (7)
Экспериментально момент инерции тела можно определить с помощью крутильного маятника (рисунке 1). Если верхнюю платформу повернуть на малый угол, то нижняя платформа будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОО΄.
Пренебрегая силами трения в системе, можно считать постоянной полную механическую энергию. В точке максимального закручивания платформа поднимается на высоту 
, при этом полная энергия равна потенциальной энергии
,
где 
-масса платформы.
При прохождении положения равновесия платформа движется с максимальной угловой скоростью 
, при этом полная энергия равна кинетической
,
где 
– момент инерции платформы..
По закону сохранения энергии: 
.
Из этого уравнения получим:
(8)
Так как малые колебания можно считать гармоническими, то колебания нижней платформы проходят по закону:
,
где 
– максимальный угол поворота;
- период колебаний.
Угловая скорость: 
.
То есть
. (9)
Из геометрических соображений [1]:
. (10)
Тогда из (8), (9) и (10):
, (11)
где 
. (12)
Используя формулу (11) можно рассчитать момент инерции, как ненагруженной платформы 
, так и нагруженной платформы .Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, момент инерции тела на платформе 
рассчитывается как:
. (13)
Порядок выполнения работы и обработка экспериментальных данных
Задание 1. Определение момента инерции тел
1. Занести данные установки (
, 
, , 
) в таблицу 1 и по заданию преподавателя параметры тел (для диска – массу и радиус , для кольца - массу кольца , его внутренний и внешний радиусы, для стержня – массу и длину ) в таблицу 2.
2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10°. Измерить время t полных 50 
100 колебаний и внести в таблицу 1.
3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы.
4. Вычислить периоды колебаний 
(ненагруженной платформы), и 
(ненагруженной платформы) по формуле 
,
где n – число колебаний.
5. Рассчитать 
по формуле (12).
6. Рассчитать момент инерции ненагруженной платформы
7. Рассчитать относительную погрешность измерения момента инерции ненагруженной платформы 
и записать в таблицу 1.
Так как измерение проводиться однократно, то погрешность 
определяется исходя из погрешности измерительного прибора. то есть в данном случае секундомера.
8. Вычислить абсолютную погрешность измерения момента инерции ненагруженной платформы 
и записать в таблицу 1.
9. Рассчитать момент инерции нагруженной платформы по формуле:
где 
- масса платформы, 
– масса тела.
10. Рассчитать относительную погрешность измерения момента инерции нагруженной платформы 
.
11. Вычислить абсолютную погрешность измерения момента инерции нагруженной платформы: 
.
12. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инерции тела 
.
13. Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции тела 
и записать в таблицу 2.
14. Используя формулы (4), (5), (6) рассчитать теоретическое значение момента инерции тела 
.
15. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции тела по отношению к теоретической по формуле:
16. Результаты занести в таблицу 2.
17. Проанализировать результаты и сделать выводы.
Таблица 1
| Параметры установки | n | t,с |  ,с
|  , кг∙м2
| 
| 
|
 , м
, м
 , м
 , кг
|
Таблица 2
| Параметры тел | n | t, с | T1,с |  , кг∙м2
| , кг∙м2
| 
|  ,%
|
стержень
 , м
 , кг
| |||||||
диск
, м
 , кг
| |||||||
кольцо
 , м
 , м
 , кг
|
Задание 1а. Определение момента инерции тел
1. Занести данные установки (, , , ) в таблицу 1а и по заданию преподавателя параметры тела, с которым будет проводится эксперимент (для диска – массу и радиус , для кольца - массу кольца , его внутренний и внешний радиусы, для стержня – массу и длину ), в таблицу 2а.
2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10°.
Измерить время 
полных 
=10 колебаний ненагруженного маятника 
=8-10 раз и внести в таблицу 1a.
3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы. Полученные данные занести в таблицу 2а.
4. Для каждого измерения рассчитайте период колебаний 
= 
и средние значения периода колебаний ненагруженного 
и нагруженного маятника 
. Данные расчетов занесите в таблицы 1а и 2а.
5. По формуле 6 (стр.7) рассчитайте средние квадратические погрешности 
и 
определения и . Полученные данные занесите в таблицы 1а и 2а.
6. Рассчитать по формуле (12).
7. Рассчитать и занести в таблицу 1а среднее значение момента инерции ненагруженной платформы:
8. Рассчитать и занести в таблицу 2а среднее значение момента инерции нагруженной платформы:
где - масса платформы, – масса тела.
9. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инерции тела 
и занести его в таблицу 2а.
10. По формуле 
найдите среднюю квадратическую ошибку определения 
.
11. Используя формулу (8) на стр.8 рассчитайте доверительный интервал 
определения 
.
12. Окончательный результат экспериментального определения момента инерции тел запишите в виде: 
.
13. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции исследуемого тела по одной из формул (4), (5), (6) и сравните его с экспериментальным.
14. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.
Таблица 1а
Ненагруженный маятник
| Параметры установки | n | t, с | , с
|  , с
|  , кг∙м2
|
|
| , м
, м
, м
, кг
| ||||||
| ... | ||||||
Таблица 2а
Нагруженный маятник
| Параметры тел | n | t,с |  ,с
|  , с
|  , кг∙м2
| , кг∙м2
|
|
| стержень
, м
, кг
| |||||||
| диск
, м
, кг
| . . | ||||||
| кольцо
, м
, м
, кг
|
Задание 2. Проверка свойства аддитивности момента инерции
1. Записать в таблицу 3 массу платформы 
, массу кольца 
и параметры установки.
2. Установить одно кольцо в центре платформы и измерить время 50 100 полных колебаний. Занести результат в таблицу 3.
3. Вычислить период колебания по формуле 
,
где n – число колебаний.
4. Пункты 1-3 повторить для двух и трех колец, одновременно установленных в центре платформы.
5. Рассчитать по формуле (12)
6. Рассчитать моменты инерции нагруженной платформы по формуле
,
где 
- количество колец (
1, 2, 3), установленных на платформе. Полученные данные занести в таблицу 3.
7. Построить график зависимости 
(рисунке 2). Продолжив график до пересечения с осью 
, найти момент инерции ненагруженной платформы 
. Определить по графику 
, 
, 
.
8. Все результаты занести в таблицу 3.
9. Проанализировать результаты расчетов и сделать выводы.
Рис.2.
Таблица 3
| Параметры кольца и установки | кол-во ко-лец | n | t, с |  ,с
| , кг∙м2
| , кг∙м2
| 
| 
| 
|
| L, м
R, м
r, м
mo, кг
Dк , м
dк, м
, кг
| |||||||||
Задание 3. Исследование зависимости момента инерции тела от расстояния между его центром инерции и осью вращения (проверка теоремы Штейнера)
1. Определить момент инерции ненагруженной платформы, выполнив пункты 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 задания 1.
2. Измерить параметры тел, с которыми будет производиться эксперимент (по указанию преподавателя). Для дисков – массу и радиус , для стержней – массу и длину . Занести данные в таблицу 4.
3. Поместить тела симметрично относительно центра платформы на минимальное расстоянии . Занести значения в таблицу 4.
4. Измерить время 10 50 полных колебаний и занести в таблицу 4.
5. Последовательно увеличивая расстояние , для каждого из них выполнить пункт 4. Занести данные в таблицу 4.
6. Для каждого вычислить периоды колебаний по формуле
.
7. Рассчитать моменты инерции нагруженной платформы по формуле для каждого случая
,
где - количество тел, расположенных на платформе;
- масса платформы;
– масса тела.
8. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать для каждого момент инерции тел: 
. Занести данные в табл. 4.
9. Построить графики зависимости 
(a), (a 2).
10. Проанализировать полученные данные и сделать выводы по работе.
Таблица 4
| Параметры тел | а, м | n | t, с | T, с | , кг∙м2
| , кг∙м2
|
| стержень
, м
, кг
диск
, м
, кг
| ||||||
| . . . |
Вопросы для контроля
1.Что такое момент инерции тела? В чем состоит смысл этой физической характеристики?
2.Как вычисляется момент инерции тела относительно точки и относительно оси?
3.Сформулируйте теорему Штейнера. В каком случае ее применяют?
4. Каков характер зависимости момента инерции от расстояния, на котором находится тело от оси вращения?
5.Как экспериментально определяется момент инерции тела в данной лабораторной работе?
6.Какие законы сохранения применяются для вывода расчетных формул?
Библиографический список
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1.. «М.: ФИЗМАТЛИТ МФТИ», 2002. 560 с. §42.
2.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М. «Наука», 1989. 416 с. §31, 32.
3.Трофимова Т.И. Курс физики. М. «Высшая школа», 1997. 542 с.§16.
