Производная от функции в данной точке

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о нахождении скорости движения материальной точки.

Пусть материальная точка при переменном движении в момент времени t₁, находится в положении М₁, а в момент времени t₂ - в положении М₂. Наша задача определить скорость υ₁ в точке М₁. М₁ М₂ = ∆S - путь, пройденный точкой за время ∆t = t₂–t₁ тогда средняя скорость на этом участке пути:

Она будет тем ближе к υ, чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, то если, М₂ → М₁, a ∆t → 0, значит υ_ср → υ₁ т.е. υ ₁= lim _∆_t_→0∆S/∆t

2. Задача о нахождении угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в данной точке.

Пусть на графике функции у = f(x) даны две точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂). Требуется определить tgα₁, где α₁ - угол наклона касательной, проведенной в точке М₁. Проведем секущую М₁М₂, ее угол наклона определяется из соотношения:

tgα₂ = ∆y/∆x

Если точка М₂ → М₁, то ∆х → 0, a tgα₂ → tgα₁, тогда:

tgα₁ =lim_∆_x_→0∆y/∆x

Таким образом, физическая и геометрическая задача приводят к нахождению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю - это и есть производная.

Производной от функции в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначается производная: f¹_х (х) = у¹_х = lim_∆_x_→0∆y/∆x

Процесс нахождения производной функции, называется дифференцированием. Общий метод нахождения производной согласно определения.

Пример: у = х²-1

1. Если аргумент получил приращение ∆х, то функция получит приращение ∆у:

у + ∆у = (х + ∆х)²-1

2. Находим приращение ∆у:

у + ∆у = х²+2х∆х +∆х²-1

-

у = x² – 1

------------------------------

0 + ∆у = 0 + 2х∆х + ∆х²-0

∆у = 2х∆х + ∆х²

3. Находим по определению производную функции.

y¹_x = lim_∆_x_→0 ∆y/∆x = lim_∆_x_→0 (2x∆x + ∆x²)/∆x = lim_∆_x_→0(2x + ∆x) = 2x

На практике такой метод не применяется, т.к. требует громоздких вычислений. По общему правилу нахождения производных были найдены производные простейших функций, табличные значения которых приведены ниже:

1. Производная постоянного числа равна нулю.

у = const. у_х' = 0. Пример: у = 2, у_х' = 0.

2. Производная степенной функции.

у = хⁿ, у_х' = nхⁿ^-1. Пример: у = х³, у_х' = Зх^3-1 = Зх².

3. Производная от аргумента равна единице.

у = х, у = х¹, у_х'=1х^1-1; у_х'=1х°=1.

4. Производная показательной функции,

у = а^x; у_х' = а^х In a.

5. Производная экспоненциальной функции.

у = е^x; у_х' = е^x

6. Производная логарифмической функции.

1) у = log_ax; у`_х = 1/(x ina), 2) у = In х; у`_х= 1/x

7. Производные тригонометрических функций.

у = sinx, у`_х = cosxy = cosx, у`_х = -sinх

y = tgx, y`_x = 1/(cos²x)y = ctgx, у`_х = -1/sin²x

Некоторые правила нахождения производных

1. Постоянная величина выносится за знак производной.

y = Cf(x), y'_x= C[f(x)]' y = 2/5x⁵, y'_x=2/5[x⁵] = 2/55x⁴=2 x⁴

2. Производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных.

y = u ± v, y'_x =u`_х ± v'_x, y = 3x² + lnx, y'_x = 3 * 2x + 1/x = 6x + 1/x

3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй.

y = uv, y_x =u'_xv + v'_xu, y = xsinx,

у`_х =l sinx + x cosx = sin x+x cosx

4. Производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

y = u/v, y`_x = (vu`_x – uv`_x)/v²

y = (3x-1)/x, y`_x= (x(3x – 1) - (3x – 1)x`)/x² = (3x – 3x + 1)/x² = 1/x²

5. Производная сложной функции.

Пусть у есть функция от аргумента Z, у = f(Z), а аргумент Z есть функция от аргумента X, Z = f(X). Тогда функция у = f[f(x)] называется сложной функцией.

Производная cложной функции по независимому переменному X равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу Z на производную промежуточного аргумента по независимой переменной X.

у'х =y'_z * Z`_x

y=sinx², z = x², y = sinz, y`_z =cosz, z`x =2x

y_x =y`_z * z`_x = 2x cosz = 2x cosx².